Teorema de los tres intervalos

En el estudio de la filotaxis, las disposiciones de las hojas en los tallos de las plantas, se ha observado que cada hoja sucesiva en los tallos de muchas plantas gira respecto a la anterior por el ángulo áureo, aproximadamente 137,5°. Se ha sugerido que este ángulo maximiza el poder de captación de luz solar de las hojas de la planta.^[5] Si se observa de frente un tallo de planta que ha crecido de esta manera, habrá como máximo tres ángulos distintos entre dos hojas que son consecutivas en el orden cíclico dado por esta vista frontal.^[6]

Por ejemplo, en la figura, el mayor de estos tres ángulos aparece tres veces, entre las hojas numeradas 3 y 6, entre las hojas 4 y 7, y entre las hojas 5 y 8. El segundo ángulo mayor aparece cinco veces, entre las hojas 6 y 1, 9 y 4, 7 y 2, 10 y 5, y 8 y 3. Y el ángulo más pequeño aparece solo dos veces, entre las hojas 1 y 9 y entre las hojas 2 y 10. El fenómeno de tener tres tipos de intervalos distintos depende solo del hecho de que el patrón de crecimiento utiliza un ángulo de rotación constante, y no de la relación de este ángulo con el número áureo; el mismo fenómeno ocurriría para cualquier otro ángulo de rotación, y no solo para el ángulo áureo. Sin embargo, otras propiedades de este patrón de crecimiento sí dependen del número áureo. Por ejemplo, el hecho de que el número áureo sea un número mal aproximable implica que los puntos espaciados en este ángulo a lo largo de la espiral de Fermat (como ocurre en algunos modelos de crecimiento vegetal) forman un conjunto de Delone; intuitivamente, esto significa que están uniformemente espaciados.^[7]

En la teoría musical, un intervalo musical describe la razón en frecuencia entre dos tonos musicales. Los intervalos se consideran comúnmente consonantes o armónicos cuando son la razón de dos enteros pequeños; por ejemplo, la octava corresponde a la razón 2:1, mientras que la quinta perfecta corresponde a la razón 3:2.^[8] Dos tonos se consideran equivalentes cuando difieren por un número entero de octavas; esta equivalencia puede representarse geométricamente por el círculo cromático, cuyos puntos representan clases de tonos equivalentes. Matemáticamente, este círculo puede describirse como el círculo unitario en el plano complejo, y el punto en este círculo que representa un tono dado se obtiene mapeando la frecuencia ${\displaystyle \nu }$ al número complejo ${\textstyle \exp(2\pi \imath }\log _{2\nu )}$. Un intervalo con razón ${\displaystyle \rho }$ corresponde al ángulo ${\displaystyle (2\pi }\log _{2\rho )}$ entre puntos en este círculo, lo que significa que dos tonos musicales difieren por el intervalo dado cuando sus dos puntos en el círculo difieren por este ángulo. Por ejemplo, esta fórmula da ${\displaystyle 2\pi }$ (una circunferencia completa) como el ángulo correspondiente a una octava. Como 3/2 no es una racional potencia de dos, el ángulo en el círculo cromático que representa una quinta perfecta no es un múltiplo racional de ${\displaystyle 2\pi }$, y de manera similar otros intervalos musicales comunes distintos de la octava no corresponden a ángulos racionales.^[9]

Un sistema de afinación es una colección de tonos usados para componer y tocar música. Por ejemplo, el temperamento igual comúnmente usado para el piano es un sistema de afinación, consistente en 12 tonos espaciados uniformemente alrededor del círculo cromático. Algunos otros sistemas de afinación no espacian sus tonos de manera uniforme, sino que los generan mediante algún número de múltiplos consecutivos de un intervalo dado. Un ejemplo es la afinación pitagórica, que se construye de esta manera a partir de doce tonos, generados como los múltiplos consecutivos de una quinta perfecta en el círculo de quintas. El ángulo irracional formado en el círculo cromático por una quinta perfecta está cerca de 7/12 de circunferencia, y por tanto los doce tonos de la afinación pitagórica están cerca de, pero no son iguales a, los doce tonos del temperamento igual, que podrían generarse de la misma manera usando un ángulo de exactamente 7/12 de circunferencia.^[10] En lugar de estar espaciados en ángulos de exactamente 1/12 de circunferencia, como lo estarían los tonos del temperamento igual, los tonos de la afinación pitagórica están separados por intervalos de dos ángulos diferentes, cercanos pero no exactamente 1/12 de circunferencia, que representan dos tipos diferentes de semitonos.^[11] Si el sistema de afinación pitagórica se extendiera por una quinta perfecta más, hasta un conjunto de 13 tonos, entonces la secuencia de intervalos entre sus tonos incluiría un tercer intervalo mucho más corto, el coma pitagórico.^[12]

En este contexto, el teorema de los tres intervalos puede usarse para describir cualquier sistema de afinación que se genere de esta manera mediante múltiplos consecutivos de un único intervalo. Algunos de estos sistemas de afinación (como el temperamento igual) pueden tener solo un intervalo separando los pares de tonos más cercanos, y algunos (como la afinación pitagórica) pueden tener solo dos intervalos diferentes separando los tonos, pero el teorema de los tres intervalos implica que siempre hay como máximo tres intervalos diferentes separando los tonos.^[13][14]

Una palabra de Sturm es una secuencia infinita de dos símbolos (por ejemplo, «H» y «V») que describe la secuencia de reflexiones horizontales y verticales de un rayo de luz dentro de un cuadrado espejado, comenzando a lo largo de una recta de pendiente irracional. Equivalentemente, la misma secuencia describe la secuencia de rectas horizontales y verticales de la cuadrícula entera que son cruzadas por la recta inicial. Una propiedad que tienen todas estas secuencias es que, para cualquier entero positivo n, la secuencia tiene exactamente n + 1 subsecuencias consecutivas distintas de longitud n. Cada subsecuencia ocurre infinitamente a menudo con una cierta frecuencia, y el teorema de los tres intervalos implica que estas n + 1 subsecuencias ocurren con como máximo tres frecuencias distintas. Si hay tres frecuencias, entonces la mayor debe ser igual a la suma de las otras dos. Una demostración de este resultado implica particionar las intersecciones con el eje y de las rectas iniciales (modulo 1) en n + 1 subintervalos dentro de los cuales los n elementos iniciales de la secuencia son los mismos, y aplicando el teorema de los tres intervalos a esta partición.^[15][16]