Transformada de dispersión inversa

Las variables independientes son una variable espacial ${\displaystyle x}$ y una variable temporal ${\displaystyle t}$. Los subíndices o los operadores diferenciales (${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$) indican derivación. La función ${\displaystyle u(x,t)}$ es una solución de una ecuación en derivadas parciales no lineal, ${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$, con condición inicial ${\textstyle u(x,0)}$.^[2]: 72

La solución de la ecuación diferencial cumple las condiciones de integrabilidad y de Faddéyev:^[2]: 40

Condición de integrabilidad:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

Condición de Faddéyev: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|)|u(x)|\ dx\ <\infty }$

Los operadores diferenciales de Lax, ${\textstyle L}$ y ${\textstyle M}$, son operadores diferenciales ordinarios lineales con coeficientes que pueden contener la función ${\textstyle u(x,t)}$ o sus derivadas. El operador autoadjunto ${\textstyle L}$ tiene derivada temporal ${\textstyle L_{t}}$ y genera una ecuación (espectral) de valores propios con funciones propias ${\textstyle \psi }$ y valores propios constantes en el tiempo (parámetros espectrales) ${\textstyle \lambda }$.^{[1]: 4963 [2]: 98}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }$ and ${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

El operador ${\textstyle M}$ describe cómo las funciones propias evolucionan en el tiempo, y genera una nueva función propia ${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$ del operador ${\textstyle L}$ a partir de la función propia ${\textstyle \psi }$ de ${\textstyle L}$.^[1]: 4963

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }$

Los operadores de Lax se combinan para formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de las funciones propias ${\textstyle \psi }$.^[1]: 4963

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

Los operadores de Lax se eligen para hacer el operador multiplicativo igual a la ecuación diferencial no lineal.^[1]: 4963

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

Los operadores diferenciales AKNS, desarrollados por Ablowitz, Kaup, Newell y Segur, son una alternativa a los operadores diferenciales de Lax y obtienen un resultado similar.^{[1]: 4964 [9][10]}

La transformada de dispersión directa genera los datos de dispersión iniciales, que pueden incluir coeficientes de reflexión y de transmisión, valores propios y constantes de normalización de las funciones propias de la ecuación diferencial:^{[2]: 39–48}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }$

Las ecuaciones que describen cómo evolucionan en el tiempo los datos de dispersión son soluciones de una ecuación diferencial ordinaria respecto del tiempo de primer orden. Usando distintas aproximaciones, esta ecuación diferencial lineal puede surgir de los operadores diferenciales lineales (el par de Lax, el par AKNS...), de una combinación de los operadores diferenciales lineales y de la ecuación no lineal, o a través de operaciones adicionales de sustitución, integración o derivación. Las ecuaciones para las asíntotas espaciales (${\textstyle x\to \pm \infty }$) simplifican la resolución de estas ecuaciones diferenciales.^{[1]: 4967–4968 [2]: 68–72 [6]}

La ecuación de Marchenko combina los datos de dispersión en una ecuación integral de Fredholm lineal. La solución de esta ecuación integral lleva a la solución u(x,t) de la ecuación diferencial no lineal.^{[2]: 48–57}

Sus operadores de Lax son:^{[2]: 97–102}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ and ${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

El operador multiplicativo es:

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

Las soluciones de esta ecuación diferencial,

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

pueden incluir soluciones dispersivas, que presentan un rango continuo de valores propios (espectro continuo), y soluciones de estado ligado, con valores propios discretos (espectro discreto). Los datos de dispersión incluyen los coeficientes de transmisión ${\textstyle T(k,0)}$, de reflexión por la izquierda ${\textstyle R_{L}(k,0)}$, de reflexión por la derecha ${\textstyle R_{R}(k,0)}$, valores propios discretos ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$, y constantes de normalización de estados ligados por la izquierda y por la derecha.^[1]: 4960

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

Las funciones de Jost espacialmente asintóticas por la izquierda ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ y por la derecha ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$ simplifican este paso.^{[1]: 4965–4966}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}$

Las constantes de dependencia ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$ relacionan las funciones de Jost por la izquierda y por la derecha y las constantes de normalización por la izquierda y por la derecha.^{[1]: 4965–4966}

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

El operador diferencial de Lax ${\textstyle M}$ genera una función propia que puede expresarse como combinación lineal dependiente del tiempo de las otras funciones propias.^[1]: 4967

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales, determinadas usando las funciones de Jost, indican que el coeficiente de transmisión ${\textstyle T(k,t)}$ es independiente del tiempo, pero los coeficientes de reflexión y de normalización sí dependen del tiempo:^{[1]: 4967–4968}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}$

Se llama núcleo de Marchenko a ${\textstyle F(x,t)}$:^{[1]: 4968–4969}

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

La ecuación integral de Marchenko es una ecuación integral lineal resuelta para ${\textstyle K(x,y,t)}$.^{[1]: 4968–4969}

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

La solución de la ecuación de Marchenko, ${\textstyle K(x,y,t)}$, genera la solución ${\textstyle u(x,t)}$ de la ecuación en derivadas parciales:^[1]: 4969

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}}$