Automorf faktor

Inom matematiken är en automorf faktor ett visst slags analytisk funktion definierad över delgrupper av SL(2,R) som förekommer inom teorin av modulära former.

En automorf faktor av vikt k är en funktion

${\displaystyle \nu$ :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }

som satisfierar fyra krav beskrivna nedan. Här betecknar ${\displaystyle \mathbb {H} }$ och ${\displaystyle \mathbb {C} }$ övre halvplanet och komplexa planet. ${\displaystyle \Gamma }$ är en delgrupp SL(2,R), exempelvis en fuchsisk grupp. Ett element ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ är en 2x2-matris

${\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}$

med a, b, c, d reella tal med ad−bc=1.

En automorf faktor måste satisfiera:

1. För fixerat ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ är funktionen ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ en analytisk funktion av ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.

2. För alla ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ och ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ är

${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$

för ett fixerat reellt tal k.

3. För alla ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ och ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$ är

${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z).}$

4. Om ${\displaystyle -I\in \Gamma }$ har man för alla ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ och ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z).}$

Här är I enhetsmatrisen.

Varje automorf faktor kan skrivas som

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

med

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

Funktionen ${\displaystyle \upsilon$ :\Gamma \to S^{1}} kallas för multipelsystemet. Den har de lättbevisade egenskaperna

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

medan om ${\displaystyle -I\in \Gamma }$,

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}.}$

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Automorphic factor, 17 mars 2013.

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Kapitel 3 handlar om automorfa faktorer för den modulära gruppen.)