Dirichlets etafunktion

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller:

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s).}$

Etafunktionen kan även definieras som integralen

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}.}$

För ${\displaystyle \mathrm {Re} s>1}$ gäller

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\prod _{p\ \mathrm {primtal} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\cdot {\frac {1}{(1-{\frac {1}{2^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})\cdots }}.}$

Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för ${\displaystyle \Re s>0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}{dr}\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(-\log(xy))^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för ${\displaystyle \Re s>-1}$:

${\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}$

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen.

${\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.}$

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

${\displaystyle (s-1)\zeta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.}$

En generalisering valid för ${\displaystyle 0<c<1}$ och alla ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.}$

Genom att låta ${\displaystyle c\to 0^{+}}$ får man formeln

${\displaystyle \eta (s)=-\sin(s\pi /2)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}$

En annan integral är

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+xy}}\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\eta (s+2).}$

För alla ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ gäller

${\displaystyle \eta (s)={\frac {2^{s-1}-1}{s-1}}-(2^{s}-2)\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan x)}{(1+x^{2})^{s/2}(e^{\pi x}+1)}}\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}}$

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$

Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$  A072691

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}$

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}$

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}$

${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}$

${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}$

och i allmänhet för positiva heltal n

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}.}$

Några värden för udda argument är

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$

${\displaystyle \eta (3)={\frac {3}{4}}\zeta (3)}$

${\displaystyle \eta (5)={\frac {15}{16}}\zeta (5).}$

Etafunktionens derivata är

${\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln 2\zeta (s)+(1-2^{1-s})\zeta '(s)}$.

Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$

är

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$

där för ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ gäller för feltermen γ_n

${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}$

Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

${\displaystyle \ \eta (x)=-\mathrm {Li} _{x}(-1)}$

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

${\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}$

• Riemanns zetafunktion

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet eta function, 13 december 2013.

• Jensen, J. L. W. V. (1895). L'intermédiaire des Mathématiciens II: sid. 346. 
• Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. sid. 103 
• Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. sid. 230 
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
• Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
• Conrey, J. B. (1989). ”More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 399: sid. 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1. 
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2 
• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Sondow, Jonathan (2002). ”Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula”. Amer. Math. Monthly (112 (2005)): sid. 61–65, formula 18. https://arxiv.org/abs/math.CO/0211148. 
• Sondow, Jonathan. ”Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1”. Amer. Math. Monthly (110 (2003)): sid. 435–437. https://arxiv.org/abs/math/0209393. 
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). ”Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function”. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf. 
• Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). ”The Cauchy–Schlomilch Transformation”. https://arxiv.org/abs/1004.2445.  p. 12.
• Milgram, Michael S. (2012). ”Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results”. https://arxiv.org/abs/1208.3429. 

• Wikimedia Commons har media som rör Dirichlets etafunktion.
  Bilder & media