Matrislogaritm

Om D är en diagonalmatris är logaritmen av D en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av D:s diagonalelement, dvs:

${\displaystyle \ln {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ln {\lambda _{1}}&0&\cdots &0\\0&\ln {\lambda _{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\ln {\lambda _{n}}\end{pmatrix}}}$

För en diagonaliserbar matris A, dvs A = TDT^-1, gäller att ln A = T ln DT^-1.

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs A = TJT^-1 där J är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock J_p kan skrivas som:

${\displaystyle J_{p}={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}=\lambda (1+N)}$

Där N är en nilpotent matris med λ^-1 i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av ln(1+x):

${\displaystyle \ln {(1+x)}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+...}$

Så att:

${\displaystyle \ln {J_{p}}=\ln {(\lambda (I+N))}=\ln {(I\lambda )}+\ln {(I+N)}=(\ln {\lambda })I+N-{\frac {N^{2}}{2}}+{\frac {N^{3}}{3}}-{\frac {N^{4}}{4}}+...}$

Då N är nilpotent kommer N^k = 0 för något k, så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Matrisen:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

är ett Jordanblock. Vi får då att:

${\displaystyle \ln {A}=(\ln {1})I+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$