Menaichmos

Menaichmos
	Menaichmos
Född	Μέναιχμος; Alokopennesos, Turkiet
Död	Kyzikos, Turkiet
Medborgare i	Alokopennesos
Sysselsättning	Matematiker, astronom
Släktingar	Deinostratos (syskon)
	Redigera Wikidata

Menaichmos (grekiska: Μέναιχμος, latin Menaechmus), född ca 380 f.Kr. i Alopekonnesos eller Prokonnesos i det thrakiska Chersonesos, död ca 320 f.Kr., troligen i Kyzikos, Turkiet, var en grekisk matematiker, geometriker, filosof^[2] och broder till matematikern Deinostratos. Han var känd för sin vänskap med den berömde filosofen Platon och för sin uppenbara upptäckt av kägelsnitt och sin lösning på det då länge kvarstående problemet med kubens fördubbling med hjälp av parabel och hyperbel.

Biografi

Menaichmos är ihågkommen av matematiker för sin upptäckt av kägelsnitten och sin lösning på problemet med att fördubla kuben. ^[3] Menaichmos upptäckte troligen kägelsnitten, det vill säga ellipsen, parabeln och hyperbeln, som en biprodukt av sitt sökande efter lösningen på det Deliska problemet. ^[4] Menaichmos visste att i en parabel är y² = Lx , där L är en konstant som kallas latus rectum, även om han inte var medveten om att varje ekvation i två okända bestämmer en kurva.

^[5] Han härledde tydligen dessa egenskaper hos konsnitt och andra även. Med hjälp av denna information var det nu möjligt att hitta en lösning på problemet med duplicering av kuben genom att lösa punkterna där två paraboler skär varandra, en lösning som motsvarar att lösa en tredjegradsekvation. ^[5]

I modern notation, låt $xy=1$ vara en hyperbel och $y=ax^{2}+bx+c$ en parabel, så är deras skärningspunkter lösningarna till $ax^{3}+bx^{2}+cx=1$ . Nu satt till $a=1/2,b=0,c=0$ .^[6]

Det finns få direkta källor till Menaichmos arbete. Hans arbete om koniska sektioner är främst känt från ett epigram av Eratosthenes, och hans brors prestation (att utforma en metod för att skapa en kvadrat med samma area som en given cirkel med hjälp av kvadratrisen), är känd enbart från Proklos skrifter. Proklos nämner också att Menaichmos undervisades av Eudoxos. Det finns ett märkligt uttalande av Plutarchos om att Platon ogillade att Menaichmos uppnådde sin lösning med dubbelkuben med hjälp av mekaniska anordningar; det bevis som för närvarande är känt verkar vara rent algebraiskt.

Menaichmos löste problemet om kubens fördubbling med hjälp av dels två parabler, dels en parabel och en hyperbel. Jfr "Die fragmente des mathematikers Menaechmus" av Schmidt (i "Philologus", bd 42, 1883). Menaichmos var, enligt Johannes Stobaeus, Alexander den stores lärare och skall ha fällt det yttrande, som annars tillskrives Euklides, nämligen: "O kung, för att resa över landet finns det kungliga vägar och vägar för vanliga medborgare, men inom geometrin finns det en väg för alla."^[7] Detta citat bekräftas dock först av Stobaeus omkring 500 e.Kr., och därför är det osäkert huruvida Menaichmos verkligen undervisade Alexander.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Menaechmus, 23 maj 2026.

Menaichmos i Nordisk familjebok (andra upplagan, 1913)
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. https://archive.org/details/historyofmathema00boye.
Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3. https://archive.org/details/historyofmathema0000cook.
François Lasserre (1987). De Léodamas de Thasos à Philippe d'Oponte : témoignages et fragments. Sid. 115-24. ISBN 8870881369.

Noter

↑ Virtual International Authority File, OCLC.^{[källa från Wikidata]}
↑ Suda, § mu.140
↑ Cooke, Roger (1997). ”The Euclidean Synthesis”. The History of Mathematics : A Brief Course. New York: Wiley. Sid. 103. ISBN 9780471180821. https://archive.org/details/historyofmathema0000cook. ”Både Eutocius och Proklos tillskriver upptäckten av kägelsnitten till Menaichmos, som levde i Aten i slutet av fjärde århundradet f.Kr. Proklos citerar Eratosthenes och hänvisar till "Menaechmos konsnittstriader". Eftersom detta citat kommer strax efter en diskussion om "tvärsnittet av en rätvinklig kon" och "tvärsnittet av en spetsvinklad kon", kan man dra slutsatsen att konsnitten producerades genom att skära en kon med ett plan vinkelrätt mot ett av dess element. Om då konens topvinkel är spetsig, är den resulterande tvärsnittet (kallat oxytom ) en ellips. Om vinkeln är rät är tvärsnittet ( ortotomen ) en parabel, och om vinkeln är trubbig är tvärsnittet ( amblytomen ) en hyperbel (se figur 5.7).”
↑ Boyer (1991). ”The age of Plato and Aristotle”. A History of Mathematics. Wiley. Sid. 93. ISBN 9780471543978. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. ”Det var följaktligen en betydande prestation från Menaechmos sida när han avslöjade att kurvor med den önskade egenskapen var nära förestående. Faktum är att det fanns en familj av lämpliga kurvor som erhölls från en enda källa - skärningen av en rät cirkulär kon med ett plan vinkelrätt mot ett element i konen. Det vill säga, Menaechmus sägs ha upptäckt de kurvor som senare blev kända som ellipsen, parabeln och hyperbeln. [...] Ändå verkar den första upptäckten av ellipsen ha gjorts av Menaechmus som en ren biprodukt i ett sökande där det var parabeln och hyperbeln som erbjöd de egenskaper som behövdes för att lösa det Deliska problemet.”
1 2 Boyer (1991). ”"Platons och Aristoteles tidsålder". Matematikens historia . Wiley. s. 104–105.ISBN 9780471543978”. A History of Mathematics. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. ”Om OP=y och OD = x är koordinater för punkten P, har vi y² = R).OV, eller, om vi sätter lika med, y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC² / AB² . Eftersom segmenten AR', BC och AB är desamma för alla punkter P på kurvan EQDPG, kan vi skriva ekvationen för kurvan, en "sektion av en rätvinklig kon", som y² = lx, där l är en konstant, senare känd som kurvans latus rectum. [...] Menaichmos härledde tydligen dessa egenskaper hos konsnitten och även andra. Eftersom detta material har en stark likhet med användningen av koordinater, som illustreras ovan, har det ibland hävdats att Menaichmos hade analytisk geometri. En sådan bedömning är endast delvis motiverad, för Menaichmos var säkerligen omedveten om att varje ekvation i två okända kvantiteter bestämmer en kurva. Faktum är att det allmänna konceptet med en ekvation i okända kvantiteter var främmande för grekiskt tänkande. [...] Han hade hittat konikerna i en framgångsrik sökning efter kurvor med egenskaper som var lämpliga för kubens fördubbling. Med modern notation är lösningen lätt att uppnå. Genom att flytta skärplanet (Fig. 6.2) kan vi hitta en parabel med vilken latus rectum som helst. Om vi då vill duplicera en kub med kanten a, lokaliserar vi två paraboler på en rätvinklig kon, en med latus rectum a och en annan med latus rectum 2 a . [...] Det är troligt att Menaichmos visste att dupliceringen också kunde uppnås genom att använda en rektangulär hyperbel och en parabel.”
↑ Stillwell, John (2020), ”Algebraic Geometry” (på engelska), Mathematics and Its History: A Concise Edition, Undergraduate Texts in Mathematics (Cham: Springer International Publishing): s. 85–97, doi:10.1007/978-3-030-55193-3_6, ISBN 978-3-030-55193-3, https://doi.org/10.1007/978-3-030-55193-3_6, läst 26 april 2024
↑ Beckmann, Petr (1989). A History of Pi (3rd). Dorset Press. Sid. 34.

Externa länkar

Menaechmus' Constructions (conics) at Convergence
Article at Encyclopædia Britannica
Wolfram.com Biography
Fuentes González, Pedro Pablo, “Ménaichmos”, in R. Goulet (ed.), Dictionnaire des Philosophes Antiques, vol. IV, Paris, CNRS, 2005, p. 401-407.

Wikimedia Commons har media som rör Menaichmos.
Bilder & media

[63309730314f4c20bf6b1008fe8ffd2b155272b3-1] Virtual International Authority File, OCLC.^{[källa från Wikidata]}

[2] Suda, § mu.140

[3] Cooke, Roger (1997). ”The Euclidean Synthesis”. The History of Mathematics : A Brief Course. New York: Wiley. Sid. 103. ISBN 9780471180821. https://archive.org/details/historyofmathema0000cook. ”Både Eutocius och Proklos tillskriver upptäckten av kägelsnitten till Menaichmos, som levde i Aten i slutet av fjärde århundradet f.Kr. Proklos citerar Eratosthenes och hänvisar till "Menaechmos konsnittstriader". Eftersom detta citat kommer strax efter en diskussion om "tvärsnittet av en rätvinklig kon" och "tvärsnittet av en spetsvinklad kon", kan man dra slutsatsen att konsnitten producerades genom att skära en kon med ett plan vinkelrätt mot ett av dess element. Om då konens topvinkel är spetsig, är den resulterande tvärsnittet (kallat oxytom ) en ellips. Om vinkeln är rät är tvärsnittet ( ortotomen ) en parabel, och om vinkeln är trubbig är tvärsnittet ( amblytomen ) en hyperbel (se figur 5.7).”

[Boyer_Menaechmus-4] Boyer (1991). ”The age of Plato and Aristotle”. A History of Mathematics. Wiley. Sid. 93. ISBN 9780471543978. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. ”Det var följaktligen en betydande prestation från Menaechmos sida när han avslöjade att kurvor med den önskade egenskapen var nära förestående. Faktum är att det fanns en familj av lämpliga kurvor som erhölls från en enda källa - skärningen av en rät cirkulär kon med ett plan vinkelrätt mot ett element i konen. Det vill säga, Menaechmus sägs ha upptäckt de kurvor som senare blev kända som ellipsen, parabeln och hyperbeln. [...] Ändå verkar den första upptäckten av ellipsen ha gjorts av Menaechmus som en ren biprodukt i ett sökande där det var parabeln och hyperbeln som erbjöd de egenskaper som behövdes för att lösa det Deliska problemet.”

[Boyer_Menaechmus_2-5] 1 2 Boyer (1991). ”"Platons och Aristoteles tidsålder". Matematikens historia . Wiley. s. 104–105.ISBN 9780471543978”. A History of Mathematics. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. ”Om OP=y och OD = x är koordinater för punkten P, har vi y² = R).OV, eller, om vi sätter lika med, y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC² / AB² . Eftersom segmenten AR', BC och AB är desamma för alla punkter P på kurvan EQDPG, kan vi skriva ekvationen för kurvan, en "sektion av en rätvinklig kon", som y² = lx, där l är en konstant, senare känd som kurvans latus rectum. [...] Menaichmos härledde tydligen dessa egenskaper hos konsnitten och även andra. Eftersom detta material har en stark likhet med användningen av koordinater, som illustreras ovan, har det ibland hävdats att Menaichmos hade analytisk geometri. En sådan bedömning är endast delvis motiverad, för Menaichmos var säkerligen omedveten om att varje ekvation i två okända kvantiteter bestämmer en kurva. Faktum är att det allmänna konceptet med en ekvation i okända kvantiteter var främmande för grekiskt tänkande. [...] Han hade hittat konikerna i en framgångsrik sökning efter kurvor med egenskaper som var lämpliga för kubens fördubbling. Med modern notation är lösningen lätt att uppnå. Genom att flytta skärplanet (Fig. 6.2) kan vi hitta en parabel med vilken latus rectum som helst. Om vi då vill duplicera en kub med kanten a, lokaliserar vi två paraboler på en rätvinklig kon, en med latus rectum a och en annan med latus rectum 2 a . [...] Det är troligt att Menaichmos visste att dupliceringen också kunde uppnås genom att använda en rektangulär hyperbel och en parabel.”

[6] Stillwell, John (2020), ”Algebraic Geometry” (på engelska), Mathematics and Its History: A Concise Edition, Undergraduate Texts in Mathematics (Cham: Springer International Publishing): s. 85–97, doi:10.1007/978-3-030-55193-3_6, ISBN 978-3-030-55193-3, https://doi.org/10.1007/978-3-030-55193-3_6, läst 26 april 2024

[7] Beckmann, Petr (1989). A History of Pi (3rd). Dorset Press. Sid. 34.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]