Ekuacioni i Laplasit

Në matematikë dhe fizikë, ekuacioni i Laplasit është një ekuacion diferencial i pjesshëm i rendit të dytë i emërtuar sipas Pierre-Simon Laplace-it, i cili i pari studioi vetitë e tij. Kjo shpesh shkruhet si$${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$ose$${\displaystyle \Delta f=0,}$$ku ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ është operatori i Laplasit, ^{[note 1]} ${\displaystyle \nabla \cdot }$ është operatori i divergjencës (i simbolizuar gjithashtu "div"), ${\displaystyle \nabla }$ është operatori i gradientit (i shënuar gjithashtu "grad"), dhe ${\displaystyle f(x,y,z)}$ është një funksion me vlera reale dy herë i diferencueshëm. Prandaj, operatori i Laplasit hartëzon një funksion skalar në një funksion tjetër skalar.

Në koordinata karteziane , $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$Në koordinatat cilindrike, $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$Në koordinatat sferike, duke përdorur ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ Konventa, $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$Më në përgjithësi, në koordinatat arbitrare lakore ( ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ) ,$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}$$ose$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}$$ku ${\displaystyle g_{ij}}$ është tensori metrik Euklidian në lidhje me koordinatat e reja dhe ${\displaystyle \Gamma }$ tregon simbolet e tij Christoffel .

Ekuacioni i Laplasit në dy ndryshore të pavarura në koordinata karteziane ka formën$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}$$

1. ↑ The delta symbol, Δ, is also commonly used to represent a finite change in some quantity, for example, ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$. Its use to represent the Laplacian should not be confused with this use.