Funksioni tregues

Në matematikë, një funksion tregues ose një funksion karakteristik i një nënbashkësie të një grupi është një funksion që harton elementet e nëngrupit në një dhe të gjithë elementët e tjerë në zero. Kjo do të thotë, nëse ${\displaystyle \operatorname {A} }$ është një nënbashkësi e ndonjë bashkësie ${\displaystyle \operatorname {X} }$, atëherë ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ nëse ${\displaystyle x\in A,}$ dhe ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ përndryshe, ku ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ është një shënim i zakonshëm për funksionin tregues. Shënime të tjera të zakonshme janë ${\displaystyle I_{A},}$ dhe ${\displaystyle \chi _{A}.}$

Funksioni tregues i ${\displaystyle \operatorname {A} }$ është kllapa Iverson e vetive të përkatësisë ${\displaystyle \operatorname {A} }$ ; kjo sjell,

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$

Për shembull, funksioni Dirichlet është funksioni tregues i numrave racionalë si një nënbashkësi e numrave realë .

Funksioni tregues i një nënbashkësie A të një bashkësie X është një funksion$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$i përcaktuar si$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}$$

Treguesi ose funksioni karakteristik i një nënbashkësie A të disa grupeve X paraqet elementet e X në diapazonin ${\displaystyle \{0,1\}}$ .

Ky hartëzim është syrjektiv vetëm kur A është një nënbashkësi e duhur jo boshe e X . Nëse ${\displaystyle A\equiv X,}$ pastaj ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ Me një argument të ngjashëm, nëse ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ pastaj ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Nëse ${\displaystyle A}$ dhe ${\displaystyle B}$ janë dy nënbashkësi të ${\displaystyle X,}$ pastaj$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

Duke pasur parasysh një hapësirë probabiliteti ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ me ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ ndryshorja e rastit treguese ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ është e përcaktuar nga ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ nëse ${\displaystyle \omega \in A,}$ ndryshe ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Mesatarja

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ (e quajtur edhe "Ura Themelore").

Varianca

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Kovarianca

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Një funksion i veçantë tregues është funksioni i hapit Heaviside$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$Derivati shpërndarës i funksionit të hapit Heaviside është i barabartë me funksionin delta Dirac, dmth$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$