Shpërndarja e Bernulit

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Shpërndarja e Bernulit

Probability mass function Tre shembuj të shpërndarjes së Bernulit:   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}2}$ and ${\displaystyle P(x=1)=0{.}8}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}8}$ and ${\displaystyle P(x=1)=0{.}2}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}5}$ and ${\displaystyle P(x=1)=0{.}5}$
Parameters	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Support	${\displaystyle k\in \{0,1\}}$
PMF	${\displaystyle {\begin{cases}q=1-p&{\text{if }}k=0\\p&{\text{if }}k=1\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}k<0\\1-p&{\text{if }}0\leq k<1\\1&{\text{if }}k\geq 1\end{cases}}}$
Mean	${\displaystyle p}$
Median	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}$
Mode	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}$
Variance	${\displaystyle p(1-p)=pq}$
MAD	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Skewness	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Excess kurtosis	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
Entropy	${\displaystyle -q\ln q-p\ln p}$
MGF	${\displaystyle q+pe^{t}}$
CF	${\displaystyle q+pe^{it}}$
PGF	${\displaystyle q+pz}$
Fisher information	${\displaystyle {\frac {1}{pq}}}$

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e Bernulit, e quajtur sipas matematikanit zviceran Jakob Bernuli,^[1] është shpërndarja diskrete e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që merr vlerën 1 me probabilitet. ${\displaystyle p}$ dhe vlerën 0 me probabilitet ${\displaystyle q=1-p}$ . Në mënyrë joformale, mund të mendohet si një model për grupin e rezultateve të mundshme të çdo eksperimenti që shtron një pyetje po-jo . Pyetje të tilla çojnë në rezultate me vlerë buleane : një bit i vetëm, vlera e të cilit është sukses (një) me probabilitet p dhe dështim (zero) me probabilitet q . Mund të përdoret për të përfaqësuar një hedhje monedhe, ku 1 dhe 0 do të përfaqësonin përkatësisht "kokën" dhe "pilin", dhe p do të ishte probabiliteti i rënies së monedhës kokë ose anasjelltas ku 1 do të përfaqësonte pilin dhe p do të ishte probabiliteti i pilit). Në veçanti, monedhat e padrejta do të kishin ${\displaystyle p\neq 1/2.}$

Shpërndarja e Bernulit është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale ku kryhet një provë e vetme (pra n do të ishte 1 për një shpërndarje të tillë binomiale).

Nëse ${\displaystyle X}$ është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Bernuli, atëherë:

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

Funksioni i masës së probabilitetit ${\displaystyle f}$ i kësaj shpërndarjeje, mbi rezultatet e mundshme k, është

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}$^[2]

Ky sistem mund të shprehet edhe si

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}$

Kurtoza shkon në pafundësi për vlera të larta dhe të ulëta të ${\displaystyle p,}$ por për ${\displaystyle p=1/2}$ shpërndarjet me dy pika duke përfshirë shpërndarjen Bernuli kanë një kurtozë të tepërt më të ulët se çdo shpërndarje tjetër probabiliteti, përkatësisht −2.

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale të ${\displaystyle p}$ bazuar në një kampion të rastësishëm është mesatarja e kampionit .

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli ${\displaystyle X}$ është

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=p}$

Kjo për faktin se për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje Bernuli ${\displaystyle X}$ me ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$ dhe ${\displaystyle \Pr(X=0)=q}$ ne gjejme

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$^[2]

Varianca (Dispersioni) i një ndryshore të rastit ${\displaystyle X}$ me shpërndarje Bernuli është

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

Së pari gjejmë

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}$^[2]

Me këtë rezultat është e lehtë të vërtetohet se, për çdo shpërndarje Bernuli me një vlerë parametri p , varianca e saj do të ketë një vlerë brenda ${\displaystyle [0,1/4]}$ .

• Nëse ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ janë ndryshore rasti të pavarura, të shpërndara identikisht ( iid ), të gjitha provat e Bernulit me probabilitet suksesi p, atëherë shuma e tyre ndjek një shpërndarjeje binomiale me parametra n dhe p :

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$ ( shpërndarja binomiale ).^[2]

Shpërndarja e Bernulit është thjesht ${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$, shkruar edhe si ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Shpërndarja kategorike është përgjithësimi i shpërndarjes Bernuli për ndryshore me çdo numër konstant vlerash diskrete.
• Shpërndarja Beta është e konjuguar pararendëse e shpërndarjes Bernuli.
• Shpërndarja gjeometrike modelon numrin e provave të pavarura dhe identike të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses.
• Nëse ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, atëherë ${\textstyle 2Y-1}$ ka një shpërndarje Rademacher .