Cua M/D/c

En la teoria de cues, una disciplina dins de la teoria matemàtica de la probabilitat, una cua M/D/c representa la longitud de la cua en un sistema amb ${\displaystyle c}$ servidors, on les arribades es determinen mitjançant un procés de Poisson i els temps de servei del treball són fixos (deterministes). El nom del model està escrit en la notació de Kendall.^[1] Agner Krarup Erlang va publicar per primera vegada aquest model el 1909, començant el tema de la teoria de cues.^[2][3] El model és una extensió de la cua M/D/1 que només té un servidor únic.

Una cua M/D/c és un procés estocàstic que l'espai d'estats és el conjunt ${\displaystyle \{0,1,2,3,...\}}$ on el valor correspon al nombre de clients del sistema, incloent-hi qualsevol que estigui actualment en servei.

• Les arribades es produeixen a ritme ${\displaystyle \lambda }$ d'acord amb un procés de Poisson i mou el procés d'estat ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle i+1}$.
• Els temps de servei són un temps determinístic ${\displaystyle D}$ (servint a una relació ${\displaystyle \mu =1/D}$).
• Els ${\displaystyle c}$ servidors serveixen clients des de la part superior de la cua segons una disciplina FIFO. Quan el servei està complet, el client deixa la cua i el nombre de clients del sistema es redueix d'una sola vegada.
• El buffer té una mida infinita, de manera que no hi ha cap límit en el nombre de clients que pugui contenir.

Erlang va demostrar que quan ${\displaystyle \rho (\lambda D)/c<1}$, la distribució del temps d'espera té distribució ${\displaystyle F(y)}$ donada per:^[4]

${\displaystyle F(y)=\int _{0}^{\infty }F(x+y-D){\frac {\lambda ^{c}x^{c-1}}{(c-1)!}}e^{-\lambda x}{\text{d}}x,\quad y\geq 0\quad c\in \mathbb {N} .}$

Crommelin va mostrar això, escrivint ${\displaystyle P_{n}}$ per a la probabilitat estacionària d'un sistema amb ${\displaystyle n}$ o menys clients:^[5]

${\displaystyle \mathbb {P} (W\leq x)=\sum _{n=0}^{c-1}P_{n}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-\lambda (x-kD))^{(k+1)c-1-n}}{((K+1)c-1-n)!}}e^{\lambda (x-kD)},\quad mD\leq x<(m+1)D.}$