Lema de Thue

El lema de Thue , en l'aritmètica modular, estableix que cada nombre enter modular es pot representar per una "fracció modular" de manera que el numerador i el denominador tinguin valors absoluts no superiors a l'arrel quadrada del mòdul.

Més concretament, sosté que per a cada parell de nombres enters (a, m) amb m > 1, donats dos nombres enters positius X i Y tals que X ≤ m < XY, hi ha dos nombres enters x i y tals que i

Normalment, es pren X i Y com el nombre enter més petit més gran que l'arrel quadrada de m, però la forma general de vegades és útil i fa que el teorema de la unicitat sigui més fàcil d'enunciar.[1]

La primera prova coneguda s'atribueix a Axel Thue[2] que va utilitzar un argument del principi de les caselles.[3] Es pot utilitzar per demostrar el teorema de Fermat sobre la suma de dos quadrats prenent m com un p primer que és congruent amb 1 mòdul 4 i prenent a per satisfer a 2 + 1 ≡ 0 mod p . (Aquesta " a " està garantida per a " p " pel teorema de Wilson.[4] )

Referències

  1. ↑ Shoup, Victor. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. Cambridge University Press, 2005. Theorem 2.33.
  2. ↑ Thue, A. Kra. Vidensk. Selsk. Forh., 7, 1902, p. 57–75.
  3. ↑ Aigner, Martin. Proofs from THE BOOK. 6th. Springer, 2018, p. 21. DOI 10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.
  4. ↑ Ore, Oystein. Number Theory and its History, 1948, p. 262–263.
This article is issued from Viquipèdia. The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.