Teorema dels residus

Càlcul infinitesimal

Generals

Teorema fonamental Límit d'una funció Funció contínua Càlcul vectorial Càlcul tensorial Teorema del valor mitjà

Derivació

Regla del producte Regla del quocient Regla de la cadena Teorema de Taylor Derivació implícita Taula de derivades

Integració

Taula d'integrals Integrals impròpies Tipus d'integració per: parts, discs, substitució, capes cilíndriques, ordre d'integració substitució trigonomètrica, fraccions racionals

En anàlisi complexa, el teorema dels residus, de vegades anomenat teorema dels residus de Cauchy, és una eina poderosa per avaluar integrals de línia de funcions analítiques sobre corbes tancades; sovint es pot utilitzar per calcular integrals reals i també sèries infinites. Generalitza el teorema integral de Cauchy i la fórmula integral de Cauchy. El teorema dels residus no s'ha de confondre amb casos especials del teorema de Stokes generalitzat; tanmateix, aquest últim es pot utilitzar com a ingredient de la seva demostració.^[1]

La declaració és la següent:^[2]

Teorema del residu: Sigui 𝑈 un subconjunt obert simplement connectat del pla complex que conté una llista finita de punts ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ i una funció 𝑓 holomorfa en 𝑈0.

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$La relació del teorema dels residus amb el teorema de Stokes ve donada pel teorema de la corba de Jordan. La corba plana general γ primer s'ha de reduir a un conjunt de corbes tancades simples.

${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$ el total del qual és equivalent a ${\displaystyle \gamma }$ per a fins d'integració; això redueix el problema a trobar la integral de ${\displaystyle f\,dz}$ al llarg d'una corba de Jordan ${\displaystyle \gamma _{i}}$ amb interior ${\displaystyle V.}$ El requisit que ${\displaystyle f}$ ser holomorf en ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}$ és equivalent a l'afirmació que la derivada exterior ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$ en ${\displaystyle U_{0}.}$ Així, si dues regions planes ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle U}$ tanquen el mateix subconjunt ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ de ${\displaystyle \{a_{k}\},}$ les regions ${\displaystyle V\smallsetminus W}$ i ${\displaystyle W\smallsetminus V}$ definida completament en ${\displaystyle U_{0},}$ per tant^[3]

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$està ben definit i igual a zero. En conseqüència, la integral de contorn de

${\displaystyle f\,dz}$ al llarg ${\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}$ és igual a la suma d'un conjunt d'integrals al llarg de camins ${\displaystyle \gamma _{j},}$ cadascuna tancant una regió arbitràriament petita al voltant d'una sola ${\displaystyle a_{j}}$ — els residus de ${\displaystyle f}$ (fins al factor convencional ${\displaystyle 2\pi i}$ a ${\displaystyle \{a_{j}\}.}$ Sumant ${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$ recuperem l'expressió final de la integral de contorn en termes dels nombres d'enrotllament ${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Per avaluar integrals reals, el teorema dels residus s'utilitza de la manera següent: l'integrand s'estén al pla complex i es calculen els seus residus (cosa que normalment és fàcil), i una part de l'eix real s'estén a una corba tancada adjuntant un semicercle al semipla superior o inferior, formant un semicercle. La integral sobre aquesta corba es pot calcular llavors utilitzant el teorema dels residus. Sovint, la part del semicercle de la integral tendirà cap a zero a mesura que el radi del semicercle creix, deixant només la part de l'eix real de la integral, la que ens interessava originalment.^[4]