2-catégorie

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, une 2-catégorie est une catégorie avec des « morphismes entre les morphismes », c'est-à-dire que chaque « ensemble des morphismes » transporte la structure d'une catégorie. Une 2-catégorie peut être formellement définie comme étant une catégorie enrichie au-dessus de Cat (la catégorie des catégories petites et les foncteurs entre elles), avec la structure monoïdale donnée par le produit de deux catégories.

Une 2-catégorie (stricte) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est la donnée :

• d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
• pour tous objets A, B, d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$. Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphismes) et les morphismes α : f ⇒ g sont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).

Les 1-morphismes peuvent être composés suivant les objets. Il s'agit de la composition usuelle des morphismes dans une catégorie.

Les 2-morphismes peuvent être composés de deux manières : suivant les objets et suivant les 1-morphismes. Ces deux compositions sont appelées respectivement composition horizontale et composition verticale.

La composition verticale est définie comme suit. Soient deux 0-cellules A et B, et trois 1-morphismes f, g, h : A → B. Soient les 2-morphismes α : f ⇒ g et β : g ⇒ h. Alors la composition verticale de α et β est le 2-morphisme β ${\displaystyle \circ }$ α : f ⇒ h, qui est la composition de morphismes au sens usuel dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$.

La composition horizontale est définie comme suit. Soient trois 0-cellules A, B et C, et quatre 1-morphismes f, g: A → B et f' , g' : B → C. Soient deux 2-morphismes α : f ⇒ g et β : f' ⇒ g' . On peut définir les composées de 1-morphismes f'f: A → C et g'g: A → C. Dans une 2-catégorie, on suppose qu'il existe un foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(B,C)\times {\mathcal {C}}(A,B)}$ vers ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,C)}$, qui associe aux deux 2-morphismes α et β un 2-morphisme noté βα : f'f⇒ g'g. Cela se traduit par une relation de cohérence entre les compositions horizontale et verticale. Si on a quatre 2-morphismes α : f ⇒ f' , α' : f' ⇒ f", β : g ⇒ g' , β' : g' ⇒ g", alors on a (β' ${\displaystyle \circ }$ β)(α' ${\displaystyle \circ }$ α) = β'α' ${\displaystyle \circ }$ βα.

De plus, si id_A est le 1-morphisme identité de l'objet A et si Id_idA est le 2-morphisme identité de l'objet id_A dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,A)}$, alors la composée horizontale de ce 2-morphisme par un 2-morphisme α est égal à α.

Une bicatégorie est une notion faible de 2-catégorie. L'associativité et la composition avec les morphismes identité dans la définition de 2-catégorie stricte sont satisfaites seulement à isomorphisme près.

Une bicatégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est la donnée :

• d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
• pour tous objets A, B, d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$. Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphimes) et les morphismes α : f ⇒ g dont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).
• pour tout objet A, d'une 1-cellule 1_A, appelée morphisme identité ;
• pour tout objets A, B, C, d'un foncteur ${\displaystyle \circ :{\mathcal {C}}(B,C)\times {\mathcal {C}}(A,B)\to {\mathcal {C}}(A,C)}$ appelé composition horizontale ;
• pour tout objets A, B, d'un isomorphisme naturel ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)\to {\mathcal {C}}(A,B)}$, appelé uniteur ;
• pour tout objets A, B, C, D, d'un isomorphisme naturel appelé associateur ;

tels que

• les associateurs satisfont l'identité du pentagone ;
• les uniteurs satisfont l'identité du triangle.

S'il y a exactement une 0-cellule A, alors la définition est celle d'une structure monoïdale sur la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,A)}$.

• La catégorie des petites catégories est une 2-catégorie où les objets sont les catégories, les morphismes sont les foncteurs et les 2-morphismes sont les transformations naturelles.
• Toute 2-catégorie stricte est une bicatégorie dont les uniteurs et associateurs sont des identités.

Un morphisme f : A → B dans une 2-catégorie est appelé une équivalence s'il existe un morphisme g : B → A et des isomorphismes gf ≅ 1_A et fg ≅ 1_B.

Une adjonction dans une 2-catégorie consiste en la donnée de deux 1-cellules f : A → B et u : B → A et de deux 2-cellules η : 1_A → uf et ε : fu → 1_B satisfaisant les équations des triangles, c'est-à-dire les compositions

${\displaystyle f{\stackrel {f\eta }{\to }}fuf{\stackrel {\epsilon f}{\to }}f}$

et

${\displaystyle u{\stackrel {\eta u}{\to }}ufu{\stackrel {u\epsilon }{\to }}u}$

sont des identités. On dit que f est un adjoint à gauche de u.

Si les deux 2-cellules sont inversibles, on parle d'équivalence adjointe.

Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif) si pour tout objet C dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, le foncteur induit

${\displaystyle {\mathcal {C}}(C,A)\to {\mathcal {C}}(C,B)}$

est fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif).

Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit discret s'il est fidèle et conservatif.

On s'intéresse ici aux relations entre différentes 2-catégories.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {B_{1}}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$deux bicatégories. On note les compositions de ${\displaystyle {\mathcal {B_{1}}}}$ par ${\displaystyle \circ }$, ${\displaystyle \vee }$ et ${\displaystyle \wedge }$ et celle de ${\displaystyle {\mathcal {B_{2}}}}$ par ${\displaystyle \circ '}$, ${\displaystyle \vee '}$ et ${\displaystyle \wedge '}$. On définit un 2-foncteur (ou pseudo-foncteur) ${\displaystyle F:{\mathcal {B}}_{1}\to {\mathcal {B}}_{2}}$comme étant l'ensemble des données suivantes ^[1]:

1. Les objets : Pour tous ${\displaystyle A\in Obj({\mathcal {B}}_{1})}$, on a que ${\displaystyle FA:=F(A)\in Obj({\mathcal {B}}_{2})}$.
2. Les 1-morphismes: Pour tout 1-morphisme ${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}_{1}(A,B)}$, on a que ${\displaystyle Ff:=F(f):FA\to FB}$ est un 1-morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ avec les propriétés suivantes :
   • Il existe un 2-isomorphisme ${\displaystyle F_{0,A}\in 2{\mathcal {B}}_{2}{\bigl (}id_{FA},F(id_{A}){\bigl )}}$ pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}_{1}}$. On le note généralement ${\displaystyle F_{0,A}:id_{FA}\Rightarrow F(id_{A})}$.
   • Composition : Soient ${\displaystyle f:A\to B}$ et ${\displaystyle g:B\to C}$ des 1-morphismes composables, alors il existe un 2-isomorphisme dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ qu'on note ${\displaystyle (F_{2})_{f,g}:F(g)\circ F(f)\Rightarrow F(g\circ f)}$.
3. Les 2-morphismes : Soit ${\displaystyle \eta :f\Rightarrow g}$ un 2-morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {B_{1}}}}$, on a que ${\displaystyle F(\eta ):F(f)\Rightarrow F(g)}$ est un 2-morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ avec les caractéristiques suivantes :
   • Identité : Pour tout 1-morphisme ${\displaystyle f}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {B_{1}}}}$, on a que ${\displaystyle F(id_{f})=id_{F(f)}}$.
   • Composition verticale : pour tout 2-morphisme ${\displaystyle \mu :g\Rightarrow h}$ qui se compose verticalement avec ${\displaystyle \eta }$, on demande la compatibilité de la composition verticale et donc que ${\displaystyle {F(\mu \vee \eta )=F(\mu )\vee 'F(\eta )}}$.
   • Composition horizontale : Pour tout 2-morphisme ${\displaystyle \eta ':f'\Rightarrow g'}$ qui se compose horizontalement avec ${\displaystyle \eta }$, le diagramme Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{tikzcd} »): {\displaystyle \begin{tikzcd} {F(f')\circ' F(f)} && {F(f'\circ f)} \\ \\ {F(g')\circ' F(g)} && {F(g'\circ g)} \arrow["{(F_2)_{f,f'}}", Rightarrow, from=1-1, to=1-3] \arrow["{F(\eta') \, \wedge' \, F(\eta) \;}"', Rightarrow, from=1-1, to=3-1] \arrow["{\; F(\eta' \, \wedge \, \eta)}", Rightarrow, from=1-3, to=3-3] \arrow["{(F_2)_{g,g'}}", Rightarrow, from=3-1, to=3-3] \end{tikzcd}} commute.

Finalement, pour tous ${\displaystyle f,g,h}$ des 1-morphismes composables de ${\displaystyle {\mathcal {B_{1}}}}$ le diagramme Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{tikzcd} »): {\displaystyle \begin{tikzcd}[column sep=scriptsize] && {F(f \circ g)\circ' F(h)} \\ {\bigl(F(f) \circ' F(g) \bigl) \: \circ' \: F(h)} &&&& {F\bigl((f\circ g)\circ h\bigl)} \\ \\ {F(f) \circ' \bigl(F(g)\circ' F(h)\bigl)} &&&& {F\bigl(f \circ (g\circ h)\bigl)}\\ && {F(f) \circ' F(g\circ h)} \arrow["{(F_2)_{f,g} \, \wedge' \, id_{Fh}}", Rightarrow, from=2-1, to=1-3,bend left =16] \arrow["{(F_2)_{f\circ g,h}}", Rightarrow, from=1-3, to=2-5,bend left =16] \arrow["{\alpha'\;}"', Rightarrow, from=2-1, to=4-1] \arrow["{\;F( \alpha)}", Rightarrow, from=2-5, to=4-5] \arrow["{(F_2)_{f,g \circ h}}"', Rightarrow, from=5-3, to=4-5, bend right =16] \arrow["{id_{Ff} \, \wedge' \, (F_2)_{g,h}}"', Rightarrow, from=4-1, to=5-3, bend right =16] \end{tikzcd}} commute et pour tout ${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}_{1}(A,B)}$, les deux diagrammes Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{tikzcd} »): {\displaystyle \begin{tikzcd} {F(f)\circ' id_{FB}} && F(f) & {id_{FA} \circ' F(f)} && F(f) \\ \\ {F(f)\circ' F(id_B)} && {F(f\circ id_B )} & {F(id_A)\circ' F(f)} && {F(id_A\circ f)} \arrow["{{l_{F(f)}}}", Rightarrow, from=1-1, to=1-3] \arrow["{\: {id_{F(f)}\, \wedge' \, (F_0)_B}}", Rightarrow, from=1-1, to=3-1] \arrow["{{F\pr{l_f^{-1}}}\:}"', Rightarrow, from=1-3, to=3-3] \arrow["{{r_{_{F(f)}}}}", Rightarrow, from=1-4, to=1-6] \arrow["{\:{(F_0)_A \, \wedge' \, id_{F(f)}}}", Rightarrow, from=1-4, to=3-4] \arrow["{{F\pr{r_f^{-1}}}\:}"', Rightarrow, from=1-6, to=3-6] \arrow["{{(F_2)_{f,id_B}}}"', Rightarrow, from=3-1, to=3-3] \arrow["{{(F_2)_{id_A, f}}}"', Rightarrow, from=3-4, to=3-6] \end{tikzcd}} commutent^[1].

Une équivalence de 2-catégories C et D consiste en la donnée de :

• deux pseudo-foncteurs F : C → D, G : D → C ;
• deux transformations pseudo-naturelles G∘F → Id, F∘G → Id qui sont des équivalences, c'est-à-dire admettant des transformations pseudo-naturelles formant leurs inverses à isomorphisme près.

Une monade dans une 2-categorie consiste en la donnée d'une 0-cellule X, d'une 1-cellule t : X → X et de deux 2-cellules μ : t² ⇒ t et η : id_X ⇒ t, satisfaisant les trois mêmes axiomes qu'une monade usuelle (dans la 2-catégorie des catégories).

• Une adjonction dans une 2-catégorie donne naissance à une monade.

• Théorie des catégories supérieures

• (en) Generalised Algebraic Models, Claudia Centazzo
• (en) « 2-category » sur ncatlab.org
• (en) Basic bicategories, Tom Leinster
• (en) A 2-categories companion, Steve Lack

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 2-category » (voir la liste des auteurs).

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