Transformation naturelle

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs.

Soient ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ deux catégories, F et G deux foncteurs de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {D}}}$. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$, d'un morphisme de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ :

${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$,

tel que pour tous objets X et Y de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et tout morphisme ${\displaystyle f}$ de X dans Y, on ait ${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$, c'est-à-dire que le diagramme suivant soit commutatif^[1] :

La définition de transformation naturelle ci-dessus concerne deux foncteurs covariants. On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

• Lorsque G est un groupe vu comme une catégorie à un seul objet, un foncteur ${\displaystyle F:G\to {\boldsymbol {\operatorname {Set} }}}$ de G dans la catégorie des ensembles est exactement une action de G sur F(G). Si ${\displaystyle F_{1}}$ et ${\displaystyle F_{2}}$ sont deux telles actions de goupes, une transformation naturelle ${\displaystyle \eta :F\to G}$ est la donnée d'une unique application (au sens ensembliste) ${\displaystyle \eta _{G}:F_{1}(G)\to F_{2}(G)}$ compatible avec l'action du groupe G, c'est-à-dire telle que pour tout élément x de ${\displaystyle F_{1}(G)}$ et pour tout élément ${\displaystyle g}$ de G, on ait ${\displaystyle \eta _{G}(g\cdot x)=g\cdot \eta _{G}(x)}$.
• Le déterminant peut être vu comme une transformation naturelle. Lorsque A et B sont deux anneaux commutatifs unitaires, tout morphisme d'anneaux ${\displaystyle f:A\to B}$ induit un morphisme de groupes ${\displaystyle GL_{d}f:GL_{d}(A)\to GL_{d}(B)}$obtenu en appliquant f coordonnée par coordonnée à une matrice inversible à coefficients dans A, ainsi qu'un morphisme de groupes ${\displaystyle f^{\times }:A^{\times }\to B^{\times }}$ obtenu par restriction et co-restriction de f aux groupes des inversibles de A et B. Ces transformations permettent de définir deux foncteurs ${\displaystyle GL,\ \times :{\boldsymbol {\operatorname {Rings} }}\to {\boldsymbol {\operatorname {Grp} }}}$ entre les catégories des anneaux commutatifs unitaires et des groupes. Le déterminant réalise une transformation naturelle entre ces deux foncteurs^[1].

Il existe deux façons de composer des transformations naturelles entre elles : une composition dite « verticale », qui correspond au cas de deux transformations naturelles ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ et ${\displaystyle \beta :G\to H}$, où les trois foncteurs F, G et H ont même domaine et codomaine, et une composition dite « horizontale ». Étant donné deux catégories ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, les foncteurs de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ vers ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ peuvent alors être vus comme les objets d'une catégorie dont les flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs^[2]. La flèche identité d'un foncteur ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ est alors la transformation naturelle ${\displaystyle 1_{F}=(1_{f(A)})_{A\in Ob({\mathcal {C}})}}$. Par ailleurs, la collection de toutes les catégories, de tous les foncteurs et de toutes les transformations naturelles satisfait aux axiomes d'une 2-catégorie^[2].

Soient deux catégories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et trois foncteurs parallèles ${\displaystyle F,G,H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$. Étant donné deux transformations naturelles ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ et ${\displaystyle \beta :G\to H}$, la composée ${\displaystyle \beta \circ \alpha }$ est définie via la formule ${\displaystyle (\beta \circ \alpha )_{X}=(\beta )_{X}\circ (\alpha )_{X}}$ pour tout objet X de la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. La collection de flèches ${\displaystyle \beta \circ \alpha }$ ainsi définie est alors une transformation naturelle de ${\displaystyle F}$ vers ${\displaystyle H}$.

Soient trois catégories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et deux paires de foncteurs parallèles ${\displaystyle F,G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle F',G':{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$. Étant donné deux transformations naturelles ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ et ${\displaystyle \beta :F'\to G'}$, et un objet A de la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, les flèches ${\displaystyle G'(\alpha _{A})\circ \alpha '_{F(A)}}$et ${\displaystyle \alpha '_{G(A)}\circ F'(\alpha _{A})}$ sont égales. Il est alors possible de définir une transformation naturelle ${\displaystyle \beta *\alpha :F'\circ F\to G'\circ G}$ comme la collection de ces flèches pour tout tel objet A.

Étant donné deux catégories ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, la catégorie ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}$ des foncteurs de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ vers ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ et de leurs transformations naturelles fournit une notion d'isomorphisme de foncteurs : une transformation naturelle ${\displaystyle \alpha }$ entre deux foncteurs ${\displaystyle F,G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ est un isomorphisme de foncteurs (parfois appelé isomorphisme naturel) si elle admet un inverse, c'est-à-dire une transformation naturelle ${\displaystyle \beta :G\to F}$ telle que ${\displaystyle \alpha \circ \beta =1_{G}}$ et ${\displaystyle \beta \circ \alpha =1_{F}}$. Les foncteurs F et G sont alors dits "naturellement isomorphes", situation parfois notée ${\displaystyle F\cong G}$.

Une transformation naturelle ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ est un isomorphisme naturel si, et seulement si, pour tout objet X de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, la flèche ${\displaystyle \alpha _{X}:F(X)\to G(X)}$ est un isomorphisme dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$^[3]. Certains auteurs définissent d'ailleurs ainsi la notion d'isomorphisme naturel^[1].

La notion d'isomorphisme naturel est à la base, notamment, de la définition d'équivalence de catégories^[3].

Soit K un corps (commutatif). Dans la catégorie ${\displaystyle {\boldsymbol {\operatorname {Vect} _{K}^{f.d.}}}}$ des K-espaces vectoriels de dimension finie et de leurs applications linéaires, le foncteur de bidualité qui à un K-espace vectoriel associe son bidual et à une application linéaire associe sa double transposée est naturellement isomorphe au foncteur identité de ${\displaystyle {\boldsymbol {\operatorname {Vect} _{K}^{f.d.}}}}$. L'isomorphisme naturel entre ces deux foncteurs est donné par la famille d'isomorphismes linéaires définis pour tout K-espace vectoriel E par :$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{E}:E&\to E^{**}\\x&\mapsto (\varphi \mapsto \varphi (x))\end{aligned}}}$$De façon informelle, cet isomorphisme naturel traduit le fait que les isomorphismes linéaires ${\displaystyle J_{E}}$ ne reposent sur aucun choix arbitraire dépendant de l'espace vectoriel E considéré^[3].

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

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