Constante de Gelfond

En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant e^π, c'est-à-dire e à la puissance π.

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres –1 (différent de 0 et 1) et –i (non rationnel) sont algébriques, or

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }=({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi })^{-{\rm {i}}}=(-1)^{-{\rm {i}}}}$

(En considérant, la détermination principale de l'argument).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2^√2.

Sous forme décimale, la constante est égale à

${\displaystyle {\rm {e}}^{\pi }\ =23{,}140692632\ldots }$ (suite A039661 de l'OEIS)

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}$

où ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

${\displaystyle \left({\frac {k_{N}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{N}}}.}$

Le nombre

${\displaystyle {{\rm {e}}^{\pi }}-\pi =19{,}99909997\ldots }$ (suite A018938 de l'OEIS)

est un nombre presque entier.

L'explication d'une telle propriété a été trouvée par A. Doman en septembre 2023, qui a établi le résultat comme une somme liée aux fonctions thêta de Jacobi :

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)\mathrm {e} ^{-\pi k^{2}}=1.}$$

Le premier terme de la série domine car on a comme reste de la somme pour ${\displaystyle k\geq 2}$ égal à environ ${\displaystyle \sim 0,0003436.}$. La somme peut ainsi être tronquée au premier terme ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)\mathrm {e} ^{-\pi }\approx 1,}$, ce qui donne ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }\approx 8\pi -2.}$. Par réécriture en ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }}$ et en utilisant l'approximation classique ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$, on en déduit $${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ Ainsi, on retrouve l'approximation voulue ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi }-\pi \approx 20.}$ On peut d'ailleurs remarquer que l'approximation ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ ajoute de la précision, malgré sa faiblesse^[1],[2].

Le nombre e^π√163, aussi appelée constante de Ramanujan, est un autre nombre presque entier :

e^π√163 = 262 537 412 640 768 743,999 999 999 999 250 072 59... suite A060295 de l'OEIS

dont la valeur est très proche de l'entier 640320³ + 744. Cette approximation est une application des nombres de Heegner, où 163 est le nombre de Heegner considéré. Cette propriété a été découverte en 1859 par Charles Hermite^[3]. Dans un article du 1er avril du Scientific American^[4], l'auteur de "Mathematical Games" Martin Gardner affirme faussement que le nombre est en fait entier et que le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan l'avait prouvé, d'où le nom de la constante. On sait aujourd'hui que ce nombre est transcendant.

La coïncidence, au trillionième du nombre 640320³ + 744, est expliquée par la multiplication complexe et le q-développement du j-invariant, plus précisément : $${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$ $${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(\mathrm {e} ^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$ avec O(e^-π√163) le terme d'erreur, $${\displaystyle {\displaystyle O\left(\mathrm {e} ^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$ ce qui explique pourqui e^π√163 est inférieur à 640320³ + 744.

Le développement décimal de π^e est donné par :

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 22,459 157 718 361 045 473 42... suite A059850 de l'OEIS

On ignore si ce nombre est transcendant ou non, mais, par le théorème de Gelfond-Schneider, on peut seulement déduire définitivement si oui ou non a^b est transcendant si a et b sont algébriques (a et b étant tous deux supposés complexes).

Dans le cas de e^π, on peut prouver que ce nombre est transcendant grâce aux propriétés des exponentielles complexes, or on a e^π = (−1)⁻ⁱ, ce qui permet d'appliquer le théorème de Gelfond-Schneider.

Cependant, π^e n'a pas de telle écriture équivalente, ainsi, puisque π et e sont transcendants, le théorème ne permet pas de conclure sur la transcendance de π^e. Toutefois, la conjecture de Schanuel, qui reste improuvée, impliquerait la transcendance^[5].

Un problème classique consiste à comparer π^e et e^π, dont on peut montrer que π^e < e^π par étude de la fonction x → ln(x)/x^[6].

Avec la valeur principale du logarithme complexe $${\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /2})^{\mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{-\pi /2}=(\mathrm {e} ^{\pi })^{-1/2}}$$

Le développement décimal du nombre est donné par :

${\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=}$ 0,207 879 576 350 761 908 54... suite A049006 de l'OEIS

Sa transcendance se déduit directement de celle de e^π et d'une deuxième application du théorème de Gelfond-Schneider.

(en) Eric W. Weisstein, « Gelfond's Constant », sur MathWorld

(en) Samuel W. Gilbert, The Riemann Hypothesis and the Roots of the Riemann Zeta Function, BookSurge, 2009, 140 p. (ISBN 978-1-4392-1638-5, lire en ligne), p. 93

• Arithmétique et théorie des nombres