Donnée radicielle

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des groupes algébriques, la donnée radicielle d'un groupe algébrique réductif connexe scindé sur un corps est une généralisation du système de racines qui détermine le groupe à isomorphisme près. La notion a été introduite par Michel Demazure dans SGA III, publié en 1970.

Une donnée radicielle est un quadruplet

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

où

• ${\displaystyle X^{\ast }}$ et ${\displaystyle X_{\ast }}$ sont des groupes abéliens libres de rang fini munis d'un couplage parfait à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, noté (⋅,⋅) (le couplage permet d'identifier chacun des réseaux au dual de l'autre) ;
• ${\displaystyle \Phi }$ est une partie finie de ${\displaystyle X^{\ast }}$, ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ est une partie finie de ${\displaystyle X_{\ast }}$ et il existe une bijection de ${\displaystyle \Phi }$ sur ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$, notée ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$ ;
• pour chaque ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle \Phi }$, on a ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$ ;
• pour chaque ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle \Phi }$, l'application ${\displaystyle s_{\alpha }:x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\,\alpha }$ induit un automorphisme de la donnée radicielle, c'est-à-dire que ${\displaystyle s_{\alpha }}$ envoie ${\displaystyle \Phi }$ sur ${\displaystyle \Phi }$ et que l'application induite par ${\displaystyle s_{\alpha }}$ sur ${\displaystyle X_{\ast }}$ envoie ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ sur ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$.

Les éléments de ${\displaystyle \Phi }$ sont appelés les racines de la donnée radicielle, ceux de ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ sont appelés les coracines.

Si l'ensemble des racines ne contient le double d'aucune racine, c'est-à-dire si pour tout ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle 2\alpha }$ n'appartient pas à ${\displaystyle \Phi }$, on dit que la donnée radicielle est réduite.

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe algébrique réductif sur un corps algébriquement clos ${\displaystyle K}$ et soit ${\displaystyle T}$ un tore maximal scindé. On associe à ${\displaystyle (G,T)}$ la donnée radicielle

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$,

où

• ${\displaystyle X^{*}}$ est le réseau des caractères du tore maximal ;
• ${\displaystyle X_{*}}$ est le réseau dual, qui contient les sous-groupes à un paramètre ;
• ${\displaystyle \Phi }$ est un ensemble de racines ;
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ l'ensemble des coracines associé.

Un groupe algébrique réductif scindé connexe sur ${\displaystyle K}$ est déterminé de manière unique (à isomorphisme près) par sa donnée radicielle, qui est nécessairement réduite. Inversement, pour toute donnée radicielle, on peut construire un unique groupe algébrique réductif. Une donnée radicielle contient légèrement plus d'informations que le diagramme de Dynkin (qui, lui, détermine l'algèbre de Lie du groupe) car elle détermine également le centre du groupe.

Étant donné une donnée radicielle ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$, on peut définir une donnée radicielle duale ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$ en permutant le réseau des caractères avec celui des sous-groupes à un paramètre et en permutant les racines et les coracines.

Si ${\displaystyle G}$ est un groupe algébrique réductif connexe sur un corps algébriquement clos ${\displaystyle K}$, alors son groupe dual de Langlands ${\displaystyle {}^{L}G}$ est le groupe réductif connexe complexe dont la donnée radicielle est la duale de celle de ${\displaystyle G}$.

• Michel Demazure, « Données radicielles », dans Michel Demazure et Alexandre Grothendieck, Schémas en groupes, vol. 6, coll. « Séminaire de géométrie algébrique de l'Institut des hautes études scientifiques » (lire en ligne), exposé XXI
• Tonny A. Springer, « Reductive groups », dans Automorphic Forms, Representations, and -Functions, vol. 1, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics » (n^o 33), 1979, 322 p. (ISBN 978-0-8218-1435-2, lire en ligne), p. 3-27

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