Fraction médiane

En mathématiques, la fraction médiane ou médiante de deux fractions, généralement composée de quatre nombres entiers positifs

${\displaystyle {\frac {a}{c}}\quad }$ et${\displaystyle \quad {\frac {b}{d}}\quad }$ vaut ${\displaystyle \quad {\frac {a+b}{c+d}}.}$

Autrement dit, le numérateur et le dénominateur de la médiane sont respectivement la somme des numérateurs et des dénominateurs des deux fractions données. On l'appelle parfois la somme du première année ou addition du cancre^[1], car c'est une erreur fréquente lors de l'apprentissage initial de l'opération d'addition des fractions.

Techniquement, il s'agit d'une opération binaire sur des fractions valides (dont le dénominateur est non nul), considérées comme des couples d'entiers appropriés, sans tenir compte a priori de la notion de nombres rationnels vus comme classes d'équivalence de fractions. Par exemple, la fraction médiane de 1/1 et 1/2 est 2/3. Cependant, si l'on remplace la fraction 1/1 par la fraction 2/2, qui est une fraction équivalente représentant le même nombre rationnel 1, la fraction médiane de 2/2 et 1/2 est 3/4. Pour établir un lien plus étroit avec les nombres rationnels, il peut être nécessaire de réduire les fractions à leur forme irréductible, ce qui permet de sélectionner des représentants uniques au sein des classes d'équivalence respectives.

En fait, les fractions médianes apparaissent fréquemment dans l'étude des fractions continues et en particulier des suites de Farey. La n -ième suite de Farey F_n est définie comme la suite (ordonnée par ordre décroissant de valeurs) des fractions réduites a / b (avec a et b premiers entre eux ) telles que b ≤ n . Si deux fractions a / c < b / d sont des fractions adjacentes (voisines) dans un segment de F _n, alors la relation du déterminant ${\displaystyle bc-ad=1}$ mentionnée supra est généralement valable et par conséquent la fraction médiane est la fraction la plus simple dans l'intervalle ( a / c , b / d ), au sens d'être la fraction ayant le plus petit dénominateur. Ainsi, la fraction médiane apparaîtra alors (en premier) dans la ( c + d )-ème suite de Farey et est la « prochaine » fraction qui s'insère dans toute suite de Farey entre a / c et b / d . Ceci donne la règle de construction successive des suites de Farey F_n lorsque n augmente.

L'arbre de Stern-Brocot fournit une énumération de tous les nombres rationnels positifs via leurs fractions médianes sous leur forme la plus simple, obtenues uniquement par le calcul itératif de la fraction médiane selon un algorithme simple.

• Inégalité de la fraction médiane : Une propriété importante (qui explique aussi son nom) de la fraction médiane est qu'elle se situe strictement entre les deux fractions dont elle est la fraction médiane : Si ${\displaystyle a/c<b/d}$ et ${\displaystyle c\cdot d>0}$, alors $${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.}$$ Cette propriété découle des deux relations $${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$$ et $${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$$
• Théorèmes Componendo et Dividendo : Si ${\displaystyle a/c=b/d}$ et ${\displaystyle c\neq 0,\ d\neq 0}$, alors ^[2] $${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}}$$

• Componendo: ^[2]

$${\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}$$

• Dividende : ^[2]

$${\displaystyle {\frac {a-c}{c}}={\frac {b-d}{d}}}$$

• On suppose que la paire de fractions a/c et b/d vérifie la relation du déterminant ${\displaystyle bc-ad=1}$. Alors la fraction médiane a la propriété d'être la fraction la plus simple dans l'intervalle (a/c, b/d), dans le sens où elle est la fraction avec le plus petit dénominateur. Plus précisément, si la fraction ${\displaystyle a'/c'}$ de dénominateur positif c' est strictement entre a/c et b/d, alors ses numérateur et dénominateur peut être écrits comme ${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$ et ${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$ avec deux nombres réels (même rationnels) positifs ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$. Pour montrer la positivité de ${\displaystyle \lambda _{i}}$, on peut voir que $${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$et$${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$doivent être positifs. La relation du déterminant $${\displaystyle bc-ad=1\,}$$implique alors que les deux nombres ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$ doivent être entiers, ce qui résout le système linéaire $${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$$ $${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$$ en ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$. Ainsi, ${\displaystyle c'\geq c+d.}$
• La réciproque est aussi vraie : on suppose que la paire de fractions réduites a/c < b/d est telle que la fraction réduite de plus petit dénominateur comprise strictement dans l'intervalle (a/c, b/d) est la fraction médiane des deux fractions. Alors on a bc − ad = 1. Ceci peut être démontré par le théorème de Pick qui exprime l'aire d'un triangle plan dont les sommets ont des coordonnées entières en termes de nombres v_interior de points de la grille (strictement) à l'intérieur du triangle et du nombre v_boundary de points de la grille sur la frontière du triangle. On considère le triangle ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$ de sommets v₁ = (0, 0), v₂ = (a, c), v₃ = (b, d). Son aire est alors égale à $${\displaystyle {\mathcal {A}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.}$$ Un point ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2})}$ à l'intérieur du triangle peut être paramétré par $${\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$$ avec $${\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$ La formule de Pick donne $${\displaystyle {\mathcal {A}}(\Delta )=v_{\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1}$$ce qui implique qu'il doit y avoir un point de la grille q = (q₁, q₂) à l'intérieur du triangle différent des trois sommets si bc − ad > 1 (auquel cas, l'aire du triangle est ${\displaystyle \geq 1}$). La fraction correspondante q₁/q₂ est contenue (strictement) entre les fractions (supposément réduites) et de dénominateur $${\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d}$$ comme $${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$
• Un autre résultat intéressant indique que si p/q et r/s sont des fractions réduites sur l'intervalle unité tels que |ps − rq| = 1 (donc adjacentes sur une colonne de la suite de Farey) alors $${\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)}$$où ? est fonction point d'interrogation de Minkowski.pb

Un nombre rationnel positif est un nombre de la forme ${\displaystyle a/b}$ où ${\displaystyle a,b}$ sont des nombres entiers naturels positifs ; c'est-à-dire ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}}$. L'ensemble des nombres rationnels positifs ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ correspond donc au produit cartésien de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ par lui-même ; c'est-à-dire ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}}$. Un point dont les coordonnées ${\displaystyle (b,a)}$ représente le nombre rationnel ${\displaystyle a/b}$ et la pente d'un segment reliant l'origine des coordonnées à ce point est ${\displaystyle a/b}$. Puisque ${\displaystyle a,b}$ ne sont pas nécessairement premiers entre eux, le point ${\displaystyle (b,a)}$ représente un seul et unique nombre rationnel, mais un nombre rationnel est représenté par plusieurs points ; par exemple ${\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)}$ sont toutes des représentations du nombre rationnel ${\displaystyle 1/2}$. Il s'agit donc d'une légère modification de la définition formelle des nombres rationnels, qu'on a restreint aux valeurs positives et dont on a inversé l'ordre des termes dans le couple ordonné ${\displaystyle (b,a)}$ de sorte que la pente du segment soit égale au nombre rationnel.

Deux points ${\displaystyle (b,a)\neq (d,c)}$ où ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$ sont deux représentations de nombres rationnels (éventuellement équivalents) ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle c/d}$. Les segments de droite reliant l'origine des coordonnées à ${\displaystyle (b,a)}$ et ${\displaystyle (d,c)}$ forment deux côtés adjacents d'un parallélogramme. Le sommet du parallélogramme opposé au point à l'origine des coordonnées est le point ${\displaystyle (b+d,a+c)}$, qui est donc la fraction médiane de ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle c/d}$.

L'aire du parallélogramme est égale à ${\displaystyle bc-ad}$, qui correspond également à la norme du produit vectoriel des vecteurs ${\displaystyle \langle b,a\rangle }$ et ${\displaystyle \langle d,c\rangle }$. On déduit de la définition formelle de l'équivalence des nombres rationnels que cette aire est nulle si et seulement si ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle c/d}$ sont équivalents. Dans ce cas, les deux segments sont confondus, puisque leurs pentes sont égales. L'aire du parallélogramme formé par deux nombres rationnels consécutifs dans l'arbre de Stern-Brocot est toujours égale à 1.

La notion de fraction médiane peut être généralisée à n fractions, et une inégalité de la fraction médiane généralisée est vérifiée ^[3], un fait qui semble avoir été remarqué en premier par Cauchy. Plus précisément, la fraction médiane pondérée ${\displaystyle m_{w}}$ de n fractions ${\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}}$ est définie par ${\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}}$ (avec ${\displaystyle w_{i}>0}$ ). Il est possible de démontrer que ${\displaystyle m_{w}}$ se situe strictement entre la fraction minimale et la fraction maximale parmi les ${\displaystyle a_{i}/b_{i}}$.

• Médiante
• Approximant de Padé
• Arbre de Stern-Brocot
• Parallèle (opérateur)

• (en) Eric W. Weisstein, « Mediant », sur MathWorld
• (en) Mediant Fractions sur cut-the-knot
• (en) MATHPAGES, Kevin Brown: Generalized Mediant

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