Groupe hessien
En mathématiques, le groupe hessien est un groupe fini d'ordre 216, introduit par Camille Jordan[1],[2], qui lui a donné son nom en référence à Otto Hesse. Ce groupe est parfois appelé « groupe de Hesse »[3].
Il peut être réalisé comme le groupe des transformations affines de déterminant 1 du plan affine sur le corps fini à 3 éléments. Il admet un sous-groupe normal qui est un groupe abélien élémentaire d'ordre 32 (i.e. isomorphe à (Z/3Z)2) et le quotient par ce sous-groupe est isomorphe au groupe SL2(3), qui est d'ordre 24 (i.e. le groupe des matrices 2×2 de déterminant 1 sur le corps à 3 éléments).
Ce groupe agit sur le pinceau hessien des courbes elliptiques, et forme le groupe d'automorphismes de la configuration hessienne formée des 9 points d'inflexion de ces courbes et des 12 droites passant par trois de ces points.
Le groupe hessien admet une extension centrale non scindée d'ordre 3 qui est un groupe de réflexions complexe, 3[3]3[3]3 ou 
, d'ordre 648 et noté G25 dans la classification de Shephard-Todd et le produit de celui-ci par un groupe d'ordre 2 est un autre groupe de réflexions complexe, 3[3]3[4]2 ou 
, d'ordre 1296 et noté G26.
Notes et références
- ↑ Camille Jordan, « Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 84, , p. 89-215 (ISSN 0075-4102, zbMATH 09.0234.01, lire en ligne), p. 209 et 215.
- ↑ Camille Jordan, « Sur la détermination des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire », Atti della Reale accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli, vol. 8, no 11, , p. 1-41 (lire en ligne), p. 18 sqq.
- ↑ Cf. par exemple Edmond Maillet, « Sur les équations de la géométrie de la théorie des substitutions entre n lettres », Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 2e série, t. 6, no 3, , p. 277-349 (lire en ligne), p. 296, ou Auguste Boulanger, « Sur certains invariants relatifs au groupe de Hesse », Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. 122, , p. 178-180 (lire en ligne).
- Michela Artebani et Igor Dolgachev, « The Hesse pencil of plane cubic curves », L'Enseignement mathématique, 2e série, vol. 55, no 3, , p. 235-273 (ISSN 0013-8584, DOI 10.4171/lem/55-3-3, MR 2583779, arXiv math/0611590)
- Harold Scott MacDonald Coxeter, « The collineation groups of the finite affine and projective planes with four lines through each point », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 20, , p. 165-177 (ISSN 0025-5858, DOI 10.1007/BF03374555, MR 0081289)
- Charles Clayton Grove, The syzygetic pencil of cubics with a new geometrical development of its Hesse Group, G216 (thèse de doctorat), Baltimore, Md, Université John Hopkins, , 45 p. (lire en ligne)
- Camille Jordan, « Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 84, , p. 89-215 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1878.84.89, lire en ligne)
Articles connexes
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