Pinceau hessien

En mathématiques, le pinceau syzygétique ou pinceau hessien, baptisé ainsi en hommage à Otto Hesse, est le pinceau (la famille de dimension 1) de courbes elliptiques, i.e. de courbes cubiques lisses du plan projectif complexe, défini par l'équation

${\displaystyle \lambda (x^{3}+y^{3}+z^{3})+\mu xyz=0.}$

Chaque courbe de la famille est déterminée par un couple ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ de complexes non tous deux nuls) : c'est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées homogènes ${\displaystyle [x:y:z]}$ sont une solution de l'équation pour ces paramètres. Multiplier ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ par le même scalaire non nul ne change pas la courbe, ce qui ne laisse plus qu'un seul degré de liberté pour déterminer une courbe dans le pinceau, mais la forme à deux paramètres ci-dessus permet d'annuler ${\displaystyle \lambda }$ ou ${\displaystyle \mu }$ (mais pas les deux).

Chaque courbe du pinceau passe par les neuf points du plan projectif complexe dont les coordonnées homogènes sont une permutation de 0, –1 et une racine cubique de l'unité. Il y a trois racines de l'unité et six permutations pour chaque racine, ce qui semble donner 18 triplets de coordonnées mais elles se regroupent par paires et ne définissent que neuf points dans le plan projectif. Le pinceau hessien est exactement la famille des cubiques qui passent par ces neuf points. De façon plus générale, on peut remplacer le corps des complexes par n'importe quel corps qui contient une racine cubique de l'unité et définir le pinceau hessien sur ce corps comme la famille des cubiques passant par les neuf points définis de la même façon.

Les neuf points communs du pinceau hessien sont les points d'inflexion de chacune des cubiques du pinceau. Toute droite reliant deux des neuf points passe par exactement trois d'entre eux. Les neuf points et les douze droites passant par des triplets de points forment la configuration hessienne.

Toute courbe elliptique est birationnellement équivalente à une courbe du pinceau hessien. C'est ce que l'on appelle la forme hessienne d'une courbe elliptique (en). Cependant, les paramètres ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ de la forme hessienne peut appartenir à une extension du corps de définition de la courbe de départ.

• Michela Artebani et Igor Dolgachev, « The Hesse pencil of plane cubic curves », L'Enseignement mathématique, 2^e série, vol. 55, n^o 3,‎ 2009, p. 235-273 (ISSN 0013-8584, DOI 10.4171/lem/55-3-3, MR 2583779, arXiv math/0611590)
• Charles Clayton Grove, The syzygetic pencil of cubics with a new geometrical development of its Hesse Group, Baltimore, Md., 1906 (lire en ligne)

• Configuration hessienne
• Groupe hessien

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