Métrique (physique)

En relativité restreinte et en relativité générale, une métrique est un invariant relativiste infinitésimal ayant la dimension d'une longueur. Mathématiquement, il s'agit d'un tenseur métrique relatif à la variété différentielle représentant l'espace-temps physique. En relativité générale, une métrique dans un référentiel contient toutes les informations sur la gravitation telle qu'elle y est perçue.

Une métrique d'espace-temps^[1] — ou, simplement, une métrique^[2] — est une métrique lorentzienne^[3],[4] c.-à-d. une métrique pseudo-riemannienne dont la signature est ${\displaystyle (-,+,+,...,+)}$^{[N 1]}. Elle s'exprime sous la forme d'une somme algébrique de ${\displaystyle n}$ carrés de formes différentielles linéaires^[5]. Le nombre n est égal à celui des composantes covariantes non nulles ${\displaystyle \left(g_{\mu \nu }\neq 0\right)}$ du tenseur métrique ${\displaystyle g}$^[6].

Une métrique est l'expression, en coordonnées locales, de la forme quadratique associée à la forme bilinéaire, symétrique et non dégénérée, qu'est le tenseur métrique^[7].

En relativité générale, une métrique est une solution de l'équation d'Einstein^[8].

En relativité générale, la métrique est reliée au tenseur métrique par^[9] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\eta _{\alpha \beta }{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}\mathrm {d} x^{\mu }{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\mathrm {d} x^{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }}$,

avec^[9] :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\eta _{\alpha \beta }}$

La notation ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ est due à Gauss^[10],[11].

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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• [Choquet-Bruhat 1968] Yvonne Choquet-Bruhat (préf. André Lichnerowicz), Géométrie différentielle et systèmes extérieurs, Paris, Dunod, coll. « Monographies universitaires de mathématiques » (n^o 28), 1968, XVIII-328 p., 16 × 24 cm (OCLC 301353407, BNF 32950431, S2CID 118599070, SUDOC 006192696, lire en ligne).
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• [Trilles et Spagnou 2020] Sébastien Trilles et Pierre Spagnou, Le temps dans la géolocalisation par satellites, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », octobre 2020, 1^re éd., XIV-419 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2434-2 et 978-2-271-13542-1, EAN 9782759824342, OCLC 1202412260, BNF 46587400, SUDOC 249923122, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Visconti 1992] (en) Antoine Visconti, Introductory differential geometry for physicists, Singapour, World Scientific, hors coll., octobre 1992, VIII-415 p., 17,1 × 25,8 cm (ISBN 9971-5-0186-4 et 9971-5-0187-2, EAN 9789971501860, OCLC 422847618, BNF 42014534, DOI 10.1142/0328, S2CID 117416818, SUDOC 076512924, lire en ligne).
• [Gauss 1852] C. F. Gauss (trad. du latin par T. A.), Recherches générales sur les surfaces courbes [« Disquisitiones generales circa superficies curvas »], Paris, Bachelier, hors coll., 1852 (réimpr. mars 2008), 60 p., in-8^o (OCLC 17786191, BNF 30488514, S2CID 118716567, SUDOC 020688415, lire sur Wikisource, lire en ligne [PDF]). — Voir notamment la première occurrence de ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ (sec. IV, p. 8) et la première expression de la première forme fondamentale (sec. XVI, p. 35).

• Métrique de Schwarzschild
• Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
• Métrique (mathématiques)
• Tenseur métrique

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