Graphique montrant les différentes racines carrées se trouvant dans la vesica piscis . En mathématiques , la racine carrée de cinq √5 ou 51/2 , est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.
C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).
Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et –√5 , √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √ , est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
√5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½ ).√5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".
√5 vaut approximativement
La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or
φ
=
1
+
5
2
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}
On trouve donc
5
=
2
φ
−
1
e
t
5
=
φ
+
1
φ
.
{\displaystyle {\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.}
La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait , est irrationnelle.
La méthode de Bombelli utilisant pour
a
>
0
{\displaystyle a>0}
5
=
a
+
5
−
a
2
a
+
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}=a+{\frac {5-a^{2}}{a+{\sqrt {5}}}}}
fraction continue généralisée suivant[ 1]
5
=
a
+
5
−
a
2
2
a
+
5
−
a
2
2
a
+
5
−
a
2
2
a
+
…
=
a
+
5
−
a
2
∣
∣
2
a
+
5
−
a
2
∣
∣
2
a
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {5}}=\ a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}=a+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }
Prenant
a
=
2
{\displaystyle a=2}
5
=
2
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
…
=
3
+
1
∣
∣
4
+
1
∣
∣
4
+
⋯
=
[
2
;
4
¯
]
{\displaystyle {\sqrt {5}}=\ 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+\ldots }}}}}}}}=3+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+\cdots =[2\,;{\overline {4}}]}
[ 2]
qui est le développement en fraction continue simple de √5 [ 3]
Ce développement est périodique (période de longueur 1) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.
Les huit premières réduites en sont :
u
0
=
2
1
,
u
1
=
9
4
,
38
17
,
u
3
=
161
72
,
682
305
,
2889
1292
,
12238
5473
,
u
7
=
51841
23184
,
…
{\displaystyle u_{0}={\frac {2}{1}},u_{1}={\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},u_{3}={\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},u_{7}={\frac {51841}{23184}},\dots }
Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations rationnelles√5 .
Elles forment la suite
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
récurrente homographique , définie par :
u
0
=
2
,
u
n
+
1
=
2
+
1
4
+
u
n
−
2
=
2
u
n
+
5
u
n
+
2
{\displaystyle u_{0}=2,u_{n+1}=2+{\frac {1}{4+u_{n}-2}}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}}
Les deux sous-suites
(
u
2
n
)
et
(
u
2
n
+
1
)
{\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}
adjacentes de limite
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
u
2
n
<
5
<
u
2
n
+
1
{\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {5}}<u_{2n+1}}
Le rationnel
u
n
{\displaystyle u_{n}}
a
n
b
n
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
a
n
,
b
n
{\displaystyle a_{n},b_{n}}
(
2
+
5
)
n
+
1
=
a
n
+
b
n
5
{\displaystyle (2+{\sqrt {5}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {5}}}
(
a
n
)
,
(
b
n
)
{\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}
a
0
=
2
,
b
0
=
1
,
{
a
n
+
1
=
2
a
n
+
5
b
n
b
n
+
1
=
a
n
+
2
b
n
{\displaystyle a_{0}=2,b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=2a_{n}+5b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}\end{cases}}}
[ 2]
Les
a
n
{\displaystyle a_{n}}
A001077 de l'OEIS ),
et les
b
n
{\displaystyle b_{n}}
A001076 de l'OEIS ) .
On en déduit l'expression explicite[ 2]
u
n
=
5
(
2
+
5
)
n
+
1
+
(
2
−
5
)
n
+
1
(
2
+
5
)
n
+
1
−
(
2
−
5
)
n
+
1
=
⌊
(
2
+
5
)
n
+
1
⌉
⌊
(
2
+
5
)
n
+
1
5
⌉
{\displaystyle u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}}
⌊
x
⌉
{\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil }
entier le plus proche de
x
{\displaystyle x}
Comme
a
n
2
−
5
b
n
2
=
(
−
1
)
n
+
1
{\displaystyle a_{n}^{2}-5b_{n}^{2}=(-1)^{n+1}}
(
a
n
,
b
n
)
{\displaystyle (a_{n},b_{n})}
équations de Pell-Fermat [ 4]
x
2
−
5
y
2
=
−
1
e
t
x
2
−
5
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-5y^{2}=-1\quad \mathrm {et} \quad x^{2}-5y^{2}=1}
Approximations rationnelles
La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.
Prenons la partie entière de √5 , x 0 = 2
La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :
x
n
+
1
=
x
n
+
A
x
n
2
,
{\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}},}
avec ici, A = 5
x
1
=
2
+
5
2
2
=
9
4
=
u
1
=
2
,
25
{\displaystyle x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25}
x
2
=
9
4
+
5
4
9
2
=
u
3
=
161
72
≈
2
,
236
1
{\displaystyle x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1}
x
3
=
161
72
+
5
72
161
2
=
51841
23184
=
u
7
≈
2
,
236
067
977
9.
{\displaystyle x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.}
Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS , et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS .
La suite
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
sous-suite de la suite des réduites
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
x
n
=
u
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n}=u_{(2^{n}-1)}}
[ 1] √5 (convergence quadratique ).
Une suite croissante associée est
(
5
/
x
n
)
{\displaystyle (5/x_{n})}
5
/
x
n
<
5
<
x
n
{\displaystyle 5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
5
≈
2
,
236
067
98
{\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98}
La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers √5
y
0
=
1
,
y
n
+
1
=
y
n
(
y
n
2
+
15
)
(
3
y
n
2
+
5
)
{\displaystyle \ y_{0}=1,\ y_{n+1}={\frac {y_{n}(y_{n}^{2}+15)}{(3y_{n}^{2}+5)}}}
Ses premiers termes sont :
1
,
38
17
,
y
2
=
219602
98209
=
u
8
=
2
,
2360679774
…
{\displaystyle \ 1,\ {\frac {38}{17}},\ y_{2}={\frac {219602}{98209}}=u_{8}=2,2360679774\dots }
La suite
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
sous-suite de la suite
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
fraction continue de √5 . Plus précisément :
y
n
=
u
(
3
n
−
1
)
{\displaystyle \ y_{n}=u_{(3^{n}-1)}}
Par la suite de Fibonacci
La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős , relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2[ 5]
∑
k
=
0
∞
1
F
2
k
=
7
−
5
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}}
Cela donne la formule :
5
=
7
−
2
(
∑
k
=
0
∞
1
F
2
k
)
{\displaystyle {\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)}
7e donne les 13 suivantes[ a] , [ b]
En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux , on a :
5
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
n
)
5
n
{\displaystyle {\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}}
1
+
5
=
2
φ
=
2
1
+
1
+
1
+
⋯
{\displaystyle 1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}
Radical_imbriqué#Racine_carrée ,
5
=
5
5
5
…
3
3
3
{\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}
1
3
+
1
3
2
+
1
3
3
+
⋯
=
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}
Comme √2 √3 constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
cos
2
π
5
=
cos
72
∘
=
1
4
(
−
1
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
cos
3
π
10
=
cos
54
∘
=
1
4
2
(
5
−
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},}
sin
3
π
10
=
sin
54
∘
=
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
1
4
(
1
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),}
sin
2
π
5
=
sin
72
∘
=
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
,
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},}
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
.
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.}
La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :
1
∣
∣
1
+
e
−
2
π
∣
∣
1
+
e
−
4
π
∣
∣
1
+
e
−
6
π
∣
∣
1
+
⋯
=
(
5
+
5
2
−
5
+
1
2
)
e
2
π
/
5
=
e
2
π
/
5
(
φ
5
−
φ
)
.
{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}
1
∣
∣
1
+
e
−
2
π
5
∣
∣
1
+
e
−
4
π
5
∣
∣
1
+
e
−
6
π
5
∣
∣
1
+
⋯
=
(
5
1
+
[
5
3
/
4
(
φ
−
1
)
5
/
2
−
1
]
1
/
5
−
φ
)
e
2
π
/
5
.
{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}
4
∫
0
∞
x
e
−
x
5
cosh
x
d
x
=
1
∣
∣
1
+
1
2
∣
∣
1
+
1
2
∣
∣
1
+
2
2
∣
∣
1
+
2
2
∣
∣
1
+
3
2
∣
∣
1
+
3
2
∣
∣
1
+
⋯
.
{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .}
Articles connexes
Notes
↑ La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double .
↑ Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.
« Comparaison des suites de Héron et de Bombelli docs.irem.univ-paris-diderot.fr F. Jaboeuf, Les fractions continues , Irem de Montpellier, septembre 1985 , p. 27-29, 45 ↑ Serge Mehl, « Développement d'un nombre en fraction continue : Développement périodique et irrationalité ChronoMath ↑ Keith Conrad , « Pell's Equation II uconn.edu (consulté le 17 mars 2022 ) « The continued fraction of √6 is [2; 2, 4 ], and the table of convergents below suggests (and it is true) that every other convergent provides a solution to x 2 − 6y 2 = 1 ↑ (en) Catalin Badea , « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica vol. 63, 1993 , p. 313-323 (lire en ligne ) Portail des mathématiques 
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=\ 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+\ldots }}}}}}}}=3+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+\cdots =[2\,;{\overline {4}}]}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24a9f2c245e7ac11c6fcb5588031ba7624eabfa9.svg)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/675eecfc8d487c33e70b197d7a986ec6aa0bdeff.svg)
![{\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/871f0810f31c54142605c3cc35a1ff58a88f8d53.svg)
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