Kaluza-Klein-Christoffel-Symbol

Die fünfdimensionale Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung der vierdimensionalen Christoffel-Symbole. Benutzt werden diese direkt für die Geodätengleichung der Kaluza-Klein-Theorie und tauchen indirekt über den Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor auch in den Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen auf.

Benannt sind die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nach Theodor Kaluza, Oskar Klein und Elwin Bruno Christoffel.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ die Kaluza-Klein-Metrik. Die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind gegeben durch:^[1]

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}:={\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{cd}(\partial _{a}{\widetilde {g}}_{bd}+\partial _{b}{\widetilde {g}}_{ad}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{ab}).}$

• Für nichtkompaktifizierte Raumzeit-Indizes fallen die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nicht auf die gewöhnlichen Christoffel-Symbole zurück. Stattdessen gilt:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }=\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}A^{\sigma }\left(\partial _{\mu }\left(\phi ^{2}A_{\nu }\right)+\partial _{\nu }\left(\phi ^{2}A_{\mu }\right)\right)}$

• Für kompaktifizierte Raumzeit-Indizes vereinfachen sich die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole mit der Zylinderbedingung:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{44}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{\mu d}\partial _{d}{\widetilde {g}}_{44}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{\mu \nu }\partial _{\nu }{\widetilde {g}}_{44}=-\phi g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi ,}$

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{44}^{4}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{4d}\partial _{d}{\widetilde {g}}_{44}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{4\nu }\partial _{\nu }{\widetilde {g}}_{44}=\phi A^{\nu }\partial _{\nu }\phi .}$

• Analog zum Christoffel-Symbol, doch zusätzlich mit dem Zusammenhang ${\displaystyle {\widetilde {g}}=\phi ^{2}g}$,^[2] gilt:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{a}=\partial _{b}\ln {\sqrt {-{\widetilde {g}}}}=\partial _{b}\ln \left(\phi {\sqrt {-g}}\right).}$

Die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind insbesondere bedeutend für die Kaluza-Klein-Geodätengleichung, nämlich die auf der Kaluza-Klein-Metrik basierende Geodätengleichung. Diese können entsprechend der nichtkompaktifizierten und kompaktifizierten Raumzeitindizes getrennt werden, wobei sich dann die entsprechenden Vereinfachungen der Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole weiter oben verwenden lassen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}^{\sigma }=-{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{\sigma }{\dot {x}}^{a}{\dot {x}}^{b}&={\widetilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2{\widetilde {\Gamma }}_{\mu 4}^{\sigma }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{4}+{\widetilde {\Gamma }}_{44}^{\sigma }\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}\\&=\left(-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }+A^{\sigma }\partial _{\mu }(\phi A_{\nu })\right){\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2{\widetilde {\Gamma }}_{\mu 4}^{\sigma }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{4}-\phi g^{\sigma \kappa }(\partial _{\kappa }\phi )\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}^{4}=-{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{4}{\dot {x}}^{a}{\dot {x}}^{b}&={\widetilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{4}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2{\widetilde {\Gamma }}_{\mu 4}^{4}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{4}+{\widetilde {\Gamma }}_{44}^{4}\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}\\&={\widetilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{4}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2{\widetilde {\Gamma }}_{\mu 4}^{4}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{4}+\phi A^{\sigma }(\partial _{\sigma }\phi )\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Die erste Gleichung enthält nun die gewöhnliche Geodätengleichung ${\displaystyle {\ddot {x}}^{\sigma }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}$ mit zusätzlichen nur von der zusätzlichen Dimension stammenden Temen. Die zweite Gleichung besteht nur aus diesen.

Ein spezieller Fall, welcher die beiden Gleichungen stark vereinfacht, ist wenn es keine Bewegung in einer nichtkompaktifizierten Dimension gibt, also ${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }=0}$. In diesem Fall gibt es nur eine Bewegung in Richtung der kompaktifizierten Dimension. Die erste Gleichung vereinfacht sich zu ${\displaystyle {\ddot {x}}^{\sigma }=-\phi g^{\sigma \kappa }(\partial _{\kappa }\phi )\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}}$, was (mit ${\displaystyle \phi \neq 0}$, da die Kaluza-Klein-Metrik andernfalls singulär würde) bedeutet, dass die Bedingung ${\displaystyle g^{\sigma \kappa }\partial _{\kappa }\phi =0}$ erfüllt sein muss, sodass das der Fall bleibt. Die zweite Gleichung vereinfacht sich zu ${\displaystyle {\ddot {x}}^{4}=-\phi A^{\sigma }(\partial _{\sigma }\phi )\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}=-a\left({\dot {x}}^{4}\right)^{2}}$ und der vordere Term ${\displaystyle a=\phi A^{\sigma }\partial _{\sigma }\phi \in \mathbb {R} }$ ist tatsächlich eine Konstante entlang der Geodäte wegen ${\displaystyle x^{\mu }=\mathrm {const} }$ und der Zylinderbedingung. Für ${\displaystyle a\neq 0}$ ist die Lösung mit weiteren Integrationskonstanten ${\displaystyle b,c\in \mathbb {R} }$ (welche sich aus den Anfangsbedingungen ${\displaystyle x^{4}(0)}$ und ${\displaystyle {\dot {x}}^{4}(0)}$ ergeben) gegeben durch:

${\displaystyle x^{4}(t)={\frac {1}{a}}\ln |at+b|+c;}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{4}(t)={\frac {1}{at+b}}.}$

Dies beschreibt wegen ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\dot {x}}^{4}(t)=0}$ einen asymptotischen Stillstand.

• J. M. Overduin, Wesson, P. S.: Kaluza–Klein Gravity. In: Physics Reports. 283. Jahrgang, Nr. 5, 1997, S. 303–378, doi:10.1016/S0370-1573(96)00046-4, arxiv:gr-qc/9805018, bibcode:1997PhR...283..303O (englisch). 
• Sabine Hossenfelder: Schwarze Löcher in Extra-Dimensionen: Eigenschaften und Nachweis. Frankfurt am Main 2003 (uni-frankfurt.de [PDF]). 
• Yvonne Choquet-Bruhat: General Relativity and the Einstein equations (= Oxford Mathematical Monographs). Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-923072-3, ISSN 0964-9174 (englisch). 
• Chris Pope: Kaluza–Klein Theory. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

1. ↑ Overduin & Wesson 1997, Gleichung (4)
2. ↑ Pope, Gleichung (1.14)