Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor

Der fünfdimensionale Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor (oder Kaluza-Klein-Riemann-Christoffel-Krümmungstensor) ist in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung des vierdimensionalen Riemann-Krümmungstensors (oder Riemann-Christoffel-Krümmungstensors). Dessen Kontraktion mit sich selbst ist der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor, eine Verallgemeinerung des Ricci-Tensors. Dessen Kontraktion mit der Kaluza-Klein-Metrik ist das Kaluza-Klein-Ricci-Skalar, eine Verallgemeinerung des Ricci-Skalars. Beide sind notwendig für die Formulierung der Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen.

Benannt sind der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor, Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar nach Theodor Kaluza, Oskar Klein, Bernhard Riemann und Gregorio Ricci-Curbastro.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ die Kaluza-Klein-Metrik, welche ein Graviphoton (oder Gravivektor) ${\displaystyle A^{a}}$ sowie ein Graviskalar (oder Radion) ${\displaystyle \phi }$ enthält, und ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}}$ die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole. Der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor ist gegeben durch:^[1]

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{acb}^{d}:=\partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}+{\widetilde {\Gamma }}_{ce}^{d}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{e}-{\widetilde {\Gamma }}_{be}^{d}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{e}.}$

Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar sind gegeben durch:^[2][3]

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}:=\partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d},}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}:={\widetilde {g}}^{ab}{\widetilde {R}}_{ab}.}$

Beide Formeln können mit dem gewöhnlichen Ricci-Tensor und Ricci-Skalar verbunden werden.^[4]

• Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor ist gegeben durch:^[5]

  ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}f_{4,\nu }^{a}f_{\mu a}^{4}-{\frac {1}{2}}\phi ^{-1}\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi +{\frac {1}{4}}\phi ^{-2}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi ;}$

  ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\mu 4}={\frac {1}{2}}\nabla _{a}f_{4,\mu }^{a}+{\frac {1}{4}}f_{4,\mu }^{a}\phi ^{-1}\partial _{a}\phi ;}$

  ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{44}={\frac {1}{2}}(f_{4,ab}f_{4}^{ab}+\phi ^{-1}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi -2\nabla _{a}\nabla ^{a}\phi ).}$

• Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. 1972, ISBN 978-0-471-92567-5 (englisch, archive.org [PDF]). 
• J. M. Overduin, Wesson, P. S.: Kaluza–Klein Gravity. In: Physics Reports. 283. Jahrgang, Nr. 5, 1997, S. 303–378, doi:10.1016/S0370-1573(96)00046-4, arxiv:gr-qc/9805018, bibcode:1997PhR...283..303O (englisch). 
• Sabine Hossenfelder: Schwarze Löcher in Extra-Dimensionen: Eigenschaften und Nachweis. Frankfurt am Main 2003 (uni-frankfurt.de [PDF]). 
• Yvonne Choquet-Bruhat: General Relativity and the Einstein equations (= Oxford Mathematical Monographs). Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-923072-3, ISSN 0964-9174 (englisch). 

1. ↑ Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (4.1)
2. ↑ Overduin & Wesson 1997, Gleichung (4)
3. ↑ Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (5.1)
4. ↑ Choquet-Bruhat 08, Kapitel XIV, Gleichungen (3.2)-(3.4) sowie Kapitel XVI, Gleichungen (3.1)-(3.3)
5. ↑ Choquet-Bruhat 08, Gleichungen (2.16) bis (2.18)