Algebra alternativa

In matematica, e in particolare in algebra astratta, per algebra alternativa si intende un'algebra su campo per la quale il prodotto non deve essere associativo, solo alternativo, ovvero valgono le identità

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

per tutti gli elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ nell'algebra.

Ogni algebra associativa è alternativa, dato che l'alternatività è una forma più debole di associatività: tuttavia, vi sono anche algebre alternative non-associative, come quella degli ottonioni.

Le algebre alternative sono chiamate così perché sono algebre per le quali l'associatore è alternativo. L'associatore è una mappa trilineare data da

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Per definizione, una mappa multilineare è alternativa se si annulla quando due dei suoi argomenti sono uguali. Le identità del prodotto alternativo sono equivalenti^[1] alle condizioni

• ${\displaystyle [x,x,y]=0}$
• ${\displaystyle [y,x,x]=0}$

Unendo queste identità si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x,y,x\right]&=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=\\&=[x,x+y,-y]=\\&=[x,x,-y]-[x,y,y]=0\\\end{aligned}}}$

per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Questo è equivalente all'identità flessibile^[2]

${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$.

L'associatore di un'algebra alternativa è quindi alternativo. Viceversa, ogni algebra il cui associatore è alternativo è chiaramente alternativa. Per simmetria, ogni algebra che soddisfa due condizioni fra:

• identità alternativa sinistra: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• identità alternativa destra: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• identità flessibile: ${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$.

è alternativa e le soddisfa dunque tutte e tre.

Un associatore alternativo è sempre totalmente antisimmetrico, ovvero

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

per ogni permutazione ${\displaystyle \sigma }$. La proposizione inversa è vera a patto che la caratteristica del campo di base sia diversa da 2.

• Ogni algebra associativa è alternativa.
• Gli ottonioni formano un algebra alternativa non-associativa, un'algebra di divisione normata di dimensione 8 sui numeri reali.^[3]
• Più in generale, ogni algebra di ottonioni è alternativa, mentre i sedenioni e tutte le algebre di Cayley-Dickson con dimensione maggiore di 8 perdono l'alternatività.

Il teorema di Artin afferma che in un'algebra alternativa la sottoalgebra generata da due elementi qualsiasi è associativa.^[4] Viceversa, qualsiasi algebra per cui questo è vero è evidentemente alternativa. Ne consegue che le espressioni che coinvolgono solo due variabili possono essere scritte in modo univoco senza parentesi in un'algebra alternativa.

Una generalizzazione del teorema di Artin afferma che ogniqualvolta tre elementi ${\displaystyle x,y,z}$ in un'algebra alternativa associano (cioè, ${\displaystyle [x,y,z]=0}$), la sottoalgebra generata da tali elementi è associativa.

Un corollario del teorema di Artin afferma che le algebre alternative sono a potenze associative, ovvero la sottoalgebra generata da un singolo elemento è associativa.^[5] Il viceversa non vale necessariamente: i sedenioni sono a potenze associative ma non alternativi.

Le identità di Moufang

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

valgono in qualsiasi algebra alternativa.^[2]

In un'algebra alternativa unitaria, gli inversi sono unici ogniqualvolta esistono. Inoltre, per ogni elemento invertibile ${\displaystyle x}$ e per ogni ${\displaystyle y}$ si ha

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Questo equivale a dire che l'associatore ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ si annulla per tutti i suddetti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono invertibili, allora anche ${\displaystyle xy}$ è invertibile con inverso ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$. L'insieme di tutti gli elementi invertibili è quindi chiuso rispetto alla moltiplicazione e forma un loop di Moufang. Questo loop delle unità in un anello o algebra alternativa è analogo al gruppo delle unità di un anello o algebra associativa.

Il teorema di Kleinfeld afferma che ogni anello semplice alternativo non-associativo è un'algebra degli ottonioni generalizzata sopra il suo centro.^[6]

La teoria della struttura degli anelli alternativi è presentata nel libro Rings That Are Nearly Associative di Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov e Shirshov.^[7]

Il piano proiettivo su ogni anello con divisione alternativo è un piano di Moufang.

Ogni algebra di composizione è un'algebra alternativa, come mostrato da Guy Roos nel 2008.^[8] Un'algebra di composizione ${\displaystyle A}$ su un campo ${\displaystyle K}$ possiede una norma ${\displaystyle n}$ che è un omomorfismo moltiplicativo ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$ che collega ${\displaystyle (A,\times )}$ e ${\displaystyle (K,\times )}$.

Si definisca la forma ${\displaystyle (\_:\_):A\times A\to K}$ tramite ${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$ Allora la traccia di a è data da ${\displaystyle (a:1)}$ e il coniugato da ${\displaystyle a^{\star }=(a:1)e-a}$ dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento della base per 1. Una serie di esercizi dimostra che un'algebra di composizione è sempre un'algebra alternativa.^[9]

• Algebra su un campo

• (EN) Richard D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras, New York, Dover Publications, 1995, ISBN 0-486-68813-5.
• (EN) K.A. Zhevlakov, A.M. Slin'ko, I.P. Shestakov e A.I. Shirshov, Rings That Are Nearly Associative, Academic Press, 1982 [1978], ISBN 0-12-779850-1.

• (EN) Alternative rings and algebras, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.