Insieme infinito

Un insieme infinito, nella teoria degli insiemi, è un insieme che può essere pensato intuitivamente come avente un numero infinito di elementi, i quali non possono essere elencati in una lista finita. Nella storia della matematica sono state date diverse definizioni di cosa significa per un insieme essere infinito.

Definizioni matematicamente rigorose si possono dare nella teoria degli insiemi. In particolare esistono tre tipi di caratterizzazione o possibili definizioni degli insiemi infiniti:

• un insieme ${\displaystyle X}$ è infinito se non è finito ossia non esiste una corrispondenza biunivoca tra ${\displaystyle X}$ e l'insieme dei numeri naturali (insieme non finito);
• un insieme ${\displaystyle X}$ è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca tra ${\displaystyle X}$ ed un suo sottoinsieme proprio (insieme infinito secondo Dedekind);
• un insieme ${\displaystyle X}$ è infinito se contiene l'insieme dei numeri naturali (insieme infinito secondo Cantor).

Le tre definizioni si possono dimostrare^[1] equivalenti assumendo l'assioma della scelta. Tale assioma si rivela in effetti indispensabile per mostrare che un insieme non finito è infinito secondo Cantor o Dedekind: si può dimostrare che gli altri assiomi di Zermelo-Fraenkel da soli non possono mostrare l'equivalenza delle caratterizzazioni poiché ammettono un modello in cui ci sono insiemi che sono infiniti ma finiti rispetto all'accezione di Dedekind.

Nel 1887 Richard Dedekind pubblicò Scritti sui fondamenti della matematica, dove diede una definizione insiemistica dei numeri naturali. Qui un insieme viene detto infinito se esiste un'applicazione iniettiva dell’insieme su un suo sottoinsieme proprio. L’esistenza dell'insieme infinito fu resa legittima da Dedekind considerando l’insieme dei nostri pensieri che, con l’azione di pensare, genera un nuovo pensiero. A partire di questa definizione di insieme infinito, e l'introduzione di opportuni strumenti, Dedekind arrivò a definire i sistemi numerici più comuni in maniera insiemistica.^[2]

Nel 1908 Ernst Zermelo pubblicò su Mathematische Annalen la sua assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Tra gli assiomi introdotti viene definito l'assioma dell'infinito, dove l'esistenza dell'insieme infinito non viene dimostrata ma bensì assunta. L'insieme infinito viene caratterizzato come un insieme induttivo, cioè chiuso rispetto ad una funzione successore, come l'insieme dei numeri naturali.

• Luca Barbieri Viale, Teorema 2.26, Che cos'è un numero?, Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043.

• Infinito (matematica)
• Insieme finito

• (EN) infinite set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Infinite Set, su MathWorld, Wolfram Research.