Storia della matematica

Il concetto primitivo di numero si è evoluto gradualmente a partire da una percezione visiva inconscia, definita in ambito psicologico come subitizing. Evidenze sperimentali, estese anche all'etologia (come nel caso delle capacità distintive osservate nei corvidi), suggeriscono che la percezione innata della quantità, priva di computo conscio, sia limitata a un massimo di quattro elementi.^[2] Tale soglia fisiologica trova un riscontro significativo nell'evoluzione delle strutture linguistiche: numerose lingue antiche e moderne presentano flessioni specifiche non solo per il singolare e il plurale, ma anche per il duale, il triale e il quattriale. Esemplare è il caso del latino, dove la declinazione numerica è limitata ai primi quattro numerali (unus, duo, tres, quatuor).

Dal punto di vista antropologico, lo sviluppo dei sistemi di numerazione ha seguito percorsi differenziati. Mentre alcune popolazioni (come gli Zulu o i Botocudos)^[3] hanno storicamente mantenuto distinzioni quantitative elementari basate sulla triade "uno, due, molti", altre hanno elaborato sistemi di computo somatico complessi. Questi ultimi, utilizzando parti del corpo secondo ordini prestabiliti, permettono di raggiungere capacità di conteggio elevate (fino a 41 e oltre), fungendo da ponte cognitivo tra la percezione visiva e l'astrazione aritmetica.

La transizione verso la registrazione simbolica del numero è testimoniata da reperti di epoca paleolitica^[4] che mostrano l'uso di tacche e incisioni lineari. Sebbene la storiografia occidentale abbia a lungo sottostimato il ruolo del continente africano, l'evidenza archeologica contemporanea individua in quest'area la culla del pensiero logico-matematico.^[5]

1. Configurazioni geometriche (Sudafrica, circa 70.000 a.C.): Il ritrovamento di rocce di ocra incise con motivi geometrici regolari testimonia un'astrazione spaziale precocissima, anticipando di millenni le analoghe produzioni europee.^[6]
2. L'osso di Lebombo (Sudafrica, circa 35.000 a.C.): Una fibula di babbuino recante 29 tacche incise, riconosciuta come il più antico strumento di calcolo finora rinvenuto. La corrispondenza numerica suggerisce un legame con il ciclo lunare e, secondo alcune ipotesi antropologiche, con la necessità di monitoraggio del ciclo mestruale femminile.^[5]
3. L'osso d'Ishango (Congo, circa 20.000 a.C.): Reperto che presenta raggruppamenti di incisioni interpretabili come una comprensione embrionale della sequenza dei numeri primi, sebbene tale lettura sia oggetto di un vivace dibattito accademico.^[7]

Tra il V e il III millennio a.C., la padronanza di nozioni geometriche e astronomiche trovò espressione nella costruzione di imponenti monumenti megalitici. Queste strutture non assolvevano soltanto a funzioni rituali, ma operavano come veri e propri strumenti di misurazione del tempo e dello spazio.

Siti come Nabta Playa in Egitto (5000-7000 a.C.) e il cerchio di Goseck in Germania (4900 a.C.) dimostrano una precisione sorprendente nell'allineamento con i solstizi e le stagioni, implicando conoscenze avanzate di geodesia. Il complesso di Stonehenge nel Regno Unito (3000-2000 a.C.) rappresenta l'apice di questa architettura astronomica, in cui la disposizione delle masse litiche riflette una comprensione sistematica dei movimenti celesti. In questi contesti, l'uso di cerchi, ellissi e l'evidenza di terne pitagoriche ante litteram suggeriscono un sapere geometrico applicato di alto livello, essenziale per la gestione delle attività agricole e dei calendari religiosi.

Parallelamente alle tradizioni megalitiche europee e africane, la civiltà della Valle dell'Indo (3000-2600 a.C.) sviluppò un sistema matematico orientato alla prassi ingegneristica e commerciale. Nonostante la scrittura dell'Indo rimanga tuttora indecifrata, l'analisi dei resti materiali ha rivelato un'organizzazione scientifica del territorio senza precedenti:

1. Metrologia e standardizzazione: L'adozione di un sistema di pesi e misure uniforme basato sulle frazioni decimali e l'uso di righe graduate di estrema precisione.
2. Geometria solida: La produzione di mattoni con rapporti proporzionali costanti e la costruzione di centri urbani basati su reticoli stradali ad angolo retto testimoniano una conoscenza approfondita di volumi (parallelepipedi, coni, cilindri) e di configurazioni geometriche complesse (cerchi concentrici e intersecati).

Alcuni storici ipotizzano che tale civiltà utilizzasse un sistema di numerazione in base 8 e possedesse una nozione empirica del rapporto tra circonferenza e diametro (π), consolidando il ruolo dell'antica India come uno dei principali poli d'innovazione scientifica dell'antichità.^[8]

Il papiro di Mosca (2000 a.C. - 1800 a.C.), più antico papiro egizio finora scoperto, include un metodo corretto per trovare il volume di un tronco di piramide: il solido viene scomposto in parallelepipedi e prismi; la cui somma dei volumi fornisce il risultato.^[11]

Il papiro di Rhind^[12] (1650 a.C.) costituisce un vero e proprio manuale di aritmetica e geometria che, oltre a fornire procedimenti per il calcolo di aree, prodotti, divisioni e operazioni con frazioni a numeratore unitario, cita numerose nozioni matematiche come numero primo, media aritmetica, media geometrica, media armonica e numeri perfetti. Vi si trova anche una spiegazione primitiva del crivello di Eratostene e il metodo per la soluzione di un'equazione lineare del prim'ordine.^[13] Qui si trovano varie nozioni geometriche non banali come un metodo per approssimare il valore di ${\displaystyle \pi }$ con un errore (residuo) inferiore all'1%, un primo tentativo di effettuare la quadratura del cerchio e il primo uso conosciuto del concetto di cotangente.

Gli Egizi erano soliti rappresentare i numeri razionali come somma di frazioni con numeratore unitario oppure della frazione 2/3: ad esempio 2/15 si tramuta in 1/10 + 1/30. Oggi questa tecnica ha assunto il nome di frazione egizia.^[14]

La scarsità delle fonti egizie, si contrappone alla nostra estesa conoscenza della matematica babilonese che deriva, principalmente, alla metà del XIX secolo, dal ritrovamento di più di 400 tavolette di argilla scritte in carattere cuneiforme, datate tra il 1800 e il 1600 a.C. Esse spaziano delle frazioni, l'algebra, le equazioni di secondo grado e il calcolo di terne pitagoriche.^[15] A cui si aggiungono tavole di moltiplicazione, tavole trigonometriche e metodi risolutivi per equazioni lineari e quadratiche. La tavoletta "YBC 7289" fornisce un'approssimazione di radice di 2 accurata alla quinta cifra decimale, mentre Plimpton 322 presenta, elencate su tre colonne, molte terne pitagoriche, a dimostrazione di una probabile conoscenza del teorema di Pitagora.^[16]

L'algebra babilonese fu probabilmente la più avanzata dell'intero bacino mediterraneo per secoli. I babilonesi adoperavano formule risolutive per le equazioni di secondo grado analoghe a quelle in uso oggi. Inoltre, anche se i problemi erano basati sulla geometria, si trattava di manipolazioni molto astratte che dimostrano un elevato grado di versatilità.^[17]

La matematica babilonese faceva uso di un sistema di numerazione posizionale sessagesimale. Lo sviluppo della matematica babilonese probabilmente fu favorito da questo particolare sistema di numerazione, poiché il numero 60 vanta numerosi divisori. L'uso di un sistema posizionale per rappresentare i numeri differenzia i Babilonesi da Egizi, Greci e Romani: nella rappresentazione babilonese le cifre scritte nella colonna sinistra rappresentano valori più grandi. Tuttavia in un primo tempo i Babilonesi non usavano la cifra zero. Questo faceva sì che spesso il valore posizionale di una cifra dovesse essere dedotto dal contesto. Successivamente fu introdotta una cifra che faceva da zero ma sembra che i Babilonesi non la usassero nella posizione delle unità (i numeri 22 e 220 erano, per esempio, indistinguibili).^[18]

Il collasso della Civiltà della Valle dell’Indo intorno al 1500 a.C. determinò per lungo periodo la perdita della scrittura in Asia meridionale, la cui rinascita avvenne con lo sviluppo dell'alfabeto Brahmi, di datazione tuttavia incerta (tra il 600 a.C.e il 1000 a.C.). Alcuni teorici sono favorevoli a credere che Pitagora abbia visitato l'India (come sostenuto da Florian Cajori). Anche esclusa tale eventualità, c'è chi supporta l'idea di un avvenuto contatto con il mondo greco in seguito all'invasione di Alessandro Magno. Tuttavia a oggi, l'idea generalmente accettata, è che le due tradizioni matematiche si siano sviluppate indipendentemente.^[19]

In era vedica la matematica non era studiata solo per scopi scientifici; esposizioni matematiche avanzate si diffusero in tutto il grande corpo di testi indiani di questo periodo. La Yajur-Veda composta dal 900 a.C., affronta per la prima volta il concetto di infinità numerica. Yajnavalkya (900-800 a.C. circa) calcolò il valore di π con 2 cifre decimali.^[20] I Sulba Sutras (risalenti intorno all'800 a.C. - 200 d.C.) sono testi di geometria volti alla costruzione pratica (per mezzo di chiodi, pali corde e funi) che offrono esempi e approssimazioni di numeri irrazionali, numeri primi, la regola del tre e radici cubiche, danno un metodo approssimato per la quadratura del cerchio,^[21] risolvono equazioni lineari ed equazioni quadratiche, determinano algebricamente terne pitagoriche e forniscono un enunciato e una dimostrazione numerica del teorema di Pitagora. Rilevante la presenza di un algoritmo infinito per il calcolo di radice di 2^[22] con cui vengono calcolate le prime 5 cifre decimali.

Pingala (IV secolo a.C.-III secolo a.C.) inventò un sistema binario, studiò quelli che in seguito verranno definiti la sequenza di Fibonacci e il triangolo di Pascal e formulò la definizione di matrice. Tra il IV secolo a.C. e il III secolo d.C. i matematici indiani cominciarono a impostare i loro studi in una prospettiva unicamente speculativa. Furono i primi a sviluppare ricerche su teoria degli insiemi, logaritmi, equazioni di terzo grado, equazioni di quarto grado, serie e successioni, permutazioni e combinazioni, estrazione di radici quadrate, potenze finite e infinite. Il Manoscritto Bakshali, composto tra il III secolo a.C. e il III secolo d.C., include soluzioni di equazioni lineari con più di cinque incognite, la soluzione di equazioni quadratiche, geometriche, sistemi di equazioni, l'uso del numero zero e i numeri negativi. Vi si trovano anche accurati algoritmi per il calcolo di numeri irrazionali.

In Cina, nel 212 a.C., l'imperatore Qin Shi Huang ordinò il rogo di tutti i testi scritti. A causa dell'evento, molto poco è conosciuto della matematica cinese precedente a questa data. Per i cinesi, i numeri non erano semplici astrazioni, ma riflessi dell'ordine cosmico: la distinzione tra pari (femminili/Yin) e dispari (maschili/Yang) serviva a mantenere l'equilibrio tra uomo, terra e cielo.^[23][24]

Risalente al precedente periodo Shang (1500 a.C. - 1027 a.C.), il più antico reperto di interesse matematico, consiste in un guscio di tartaruga su cui sono incisi dei numeri che usano una specie di notazione decimale.^[25][26] Il numero 123 è scritto con il simbolo di 1 seguito da quello di centinaia, il simbolo di 2 seguito da quello delle decine e il simbolo di 3. Benché questo sistema fosse, secondo i dati storici, il più avanzato al mondo in quel periodo, la datazione esatta della sua invenzione è tutt'ora incerta.

Malgrado l'assenza di fonti antiche, la matematica dell'antica Cina, è stata interamente rivalutata, in seguito alla scoperta del Suan shu shu, considerato il più antico testo matematico cinese scritto su strisce di bambù, risalente al 186 a.C.^[27] Tale scritto ha dimostrato che le fondamenta della disciplina matematica in Cina furono il risultato di una lunga sedimentazione di saperi pratici risalenti al periodo degli Stati Combattenti. Esso rappresenta quindi la più antica testimonianza di una matematica applicata alle necessità burocratiche, e introduce già in epoca remota l'uso sistematico delle frazioni, l'approssimazione delle radici quadrate e il metodo della "falsa posizione", segnando in tal modo il passaggio fondamentale verso una successiva e più astratta trattazione scientifica.

L'evoluzione di questi saperi raggiunge un culmine nel I secolo d.C. con i Nove Capitoli dell'Arte Matematica (Jiuzhang Suanshu), opera che per longevità e influenza può essere paragonata agli Elementi di Euclide, pur distanziandosene radicalmente nell'approccio. Mentre la tradizione greca si fondava sulla dimostrazione assiomatica, il metodo cinese si ergeva su di una filosofia algoritmica, volta alla ricerca di regole generali applicabili a intere classi di problemi. Tramite 246 quesiti seguiti da algoritmi risolutivi, il testo forniva tecniche solide, adoperabili nella risoluzione di compiti complessi: dalla distribuzione proporzionale delle merci alle grandi opere di ingegneria civile.

Stimolati dal fascino per i quadrati magici, i cinesi raggiunsero vette straordinarie nello studio delle equazioni. In Cina si svilupparono con secoli di anticipo rispetto all'Occidente tecniche rivoluzionarie, tra cui l'uso di matrici per risolvere sistemi di equazioni lineari tramite un metodo analogo all'eliminazione gaussiana, gestendo con padronanza sia i numeri positivi che quelli negativi. Oltre alla formalizzazione della "doppia falsa posizione" e alla scoperta della regola di Horner, i matematici integrarono queste competenze algebriche con la geometria, applicando la regola Gougu (teorema di Pitagora) e i principi di similitudine per risolvere complessi problemi di misurazione di distanze e altezze.

Il matematico Liu Hui approntò ai Nove Capitoli il primo grande commentario (263 d.C.) a supporto delle regole esistenti, egli cercò di fornirvi una giustificazione logica, introducendo concetti che sfiorano l'analisi infinitesimale. Sua fu anche l'introduzione del "Metodo del Taglio del Cerchio" (ge yuan shu) per calcolare pi greco. Liu Hui intuì che la circonferenza di un cerchio potesse essere approssimata dal perimetro di un poligono regolare inscritto. Aumentando progressivamente il numero di lati del poligono, lo spazio tra il cerchio e il poligono si riduce fino a sparire nel limite dell'infinito. Riuscendo a studiare un poligono di 3.072 lati, egli raggiunse l'approssimazione di 3,14159, superando per precisione quanto calcolato in precedenza da Archimede o Tolomeo.

Nei successivi secoli lo sviluppo della matematica cinese vide la luce del Teorema binomiale e del Teorema cinese del resto. Ai quali si aggiungerà il Triangolo di Pascal (o di Tartaglia) che si trova nel frontespizio del trattato Ssu Yuan Yu scritto dal matematico Zhu Shijie.^[28]

Il principale contributo della matematica greca rispetto alle civiltà precedenti consiste nel passaggio da un approccio prevalentemente empirico, basato sull'esperienza diretta e ripetuta, a un metodo deduttivo sistematico. I matematici greci introdussero infatti l’uso di assiomi e postulati, a partire dai quali, attraverso dimostrazioni logiche, derivano teoremi e risultati generali.^[30] Su tale impostazione si fonda ancora oggi l’intera matematica moderna. I Greci si occuparono quasi esclusivamente di geometria e, nel praticarla, ammettevano solo costruzioni con riga non graduata e compasso che collassa (cioè che si chiude se sollevato dal foglio), escludendo il trasporto delle misure e considerando non rigoroso l’uso di altri strumenti.

Si ritiene che la matematica greca abbia avuto origine su influenza delle precedenti matematiche egizia e babilonese, con i contributi di Talete di Mileto e Pitagora di Samo.^[31][32] Il primo si dedicò allo studio della geometria, ottenendo importanti risultati: tra questi, il teorema secondo cui un triangolo inscritto in una semicirconferenza è necessariamente rettangolo, oltre a diverse proposizioni riguardanti la similitudine dei triangoli.^[33] Secondo la tradizione, grazie a questi teoremi riuscì a determinare l’altezza della piramide di Cheope basandosi sull’ombra.^[34] Pitagora invece fu il fondatore della Scuola pitagorica, una setta i cui membri si dedicavano alla ricerca matematica. Quest'ultima presentava anche connotazioni filosofiche e mistiche: i suoi membri attribuivano ideali di perfezione al numero cinque (e quindi al pentagono e al dodecaedro) e alla sfera. Sul piano filosofico, la setta fondava la propria dottrina sui numeri naturali e sui loro rapporti, cioè i numeri razionali; inoltre, credeva nella metempsicosi e praticava il vegetarianismo.^[35][36] Questa comunità diede importanti contributi alla geometria (con la dimostrazione del teorema di Pitagora) e alla teoria dei numeri (attraverso la classificazione e lo studio dei numeri figurati e dei numeri perfetti, la scoperta delle terne pitagoriche e del crivello di Eratostene).

Secondo la tradizione, la comunità giunse infine a dimostrare che il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato non è esprimibile come rapporto di due interi. Questa scoperta, che prova l'esistenza dei numeri irrazionali, contrastava con i rigidi principi della setta. Secondo una leggenda tramandata successivamente, fu il pitagorico Ippaso di Metaponto, durante un viaggio in nave, a compiere tale scoperta. Egli avrebbe comunicato la notizia agli altri adepti, i quali, incapaci di accettarne le conseguenze, lo gettarono in mare. Altri autori menzionano semplicemente il fatto che Ippaso morì in un naufragio. Leggende a parte, oggi si ritiene più probabile che i pitagorici abbiano osservato l'irrazionalità della diagonale del pentagono di lato unitario (ossia la sezione aurea), mentre l'irrazionalità di ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ sarebbe stata dimostrata solo successivamente.^[37]

La diffusione della matematica greca portò alla formulazione di tre celebri problemi classici: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo e la trisezione dell’angolo, la cui soluzione richiedeva l'uso di riga e compasso. L'impossibilità di risolvere questi problemi è stata provata solo nell'epoca moderna, sebbene già nell’antichità fossero state trovate soluzioni mediante l’uso di strumenti alternativi. Nello studio di questi problemi si distinsero matematici come Archita di Taranto, Ippia di Elide e Ippocrate di Chio. Quest'ultimo riuscì nella difficile impresa della quadratura delle lunule circolari ossia parti di piano racchiuse da due circonferenze passanti per due punti dati.^[38][39] Eudosso di Cnido fu invece il primo a cercare di approssimare un cerchio tramite poligoni regolari.^[40] Importante fu anche l'opera logica di Aristotele, l'Organon, in cui sviluppò il concetto di sillogismo.^[41]

La fondazione ad Alessandria della Biblioteca e del Museo, che riunivano le più grandi menti dell’epoca, rese la città egizia il principale centro culturale dell’età ellenistica. In questo periodo si situa l'opera di Apollonio di Perga, di Euclide e di Archimede di Siracusa, il padre della matematica.^[42]

Il primo è noto soprattutto per l'imponente opera Le Coniche nella quale definiva e studiava le sezioni coniche: ellisse, parabola e iperbole e che ebbe grande importanza nel mondo europeo.^[43] L'opera più importante di Euclide sono invece gli Elementi (c.300 a.C.), comprendenti tutti i teoremi elementari di aritmetica e soprattutto di geometria, come i teoremi fondamentali della geometria piana e solida, tra cui il teorema di Pitagora e la costruzione dei solidi regolari oltre a una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Gli Elementi furono considerati per secoli il più attendibile manuale di matematica, la cui importanza culminava tramite l'introduzione degli assiomi (in particolare i cinque assiomi che riguardano la geometria) su cui si basa tutta la matematica elementare, dando prova di un uso esemplare della logica matematica.^[44]

Archimede, considerato da molti il più grande matematico del periodo greco ellenistico^[45] oltre che padre della fisica matematica^[46], fu autore di innumerevoli opere. Tra esse spicca Della sfera e del cilindro (III secolo a.C.). Egli riuscì ad approssimare ${\displaystyle \pi }$ circoscrivendolo tra due numeri limite, scoprì le formule per il volume e la superficie della sfera e l'area del cerchio. Descrisse la costruzione dei solidi semiregolari o archimedei. Anticipò in molti testi il calcolo infinitesimale come per esempio nell'opera Sulle spirali dove trova la tangente e la lunghezza di un arco di spirale archimedea o nella Quadratura della parabola dove in appendice calcola addirittura il risultato di una serie geometrica^[47].

Si racconta che fosse anche un ingegnere valente e autore di varie opere meccaniche. Si dice che queste macchine, in particolare gli specchi ustori, avrebbero difeso la città di Siracusa dall'assedio romano. Appena conquistata la città, nonostante il console Marcello avesse chiesto di risparmiarlo, il matematico fu assassinato nella sua abitazione da un soldato mentre era assorto nei suoi calcoli. In realtà lo stesso Plutarco tramanda ben tre versioni diverse della morte di Archimede nell'assedio di Siracusa.^[48]

Ipparco di Nicea stilò la prima tavola trigonometrica.^[49][50] Il suo lavoro fu ripreso da Claudio Tolomeo che ricavò inoltre le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno.^[51] Entrambi furono anche valenti astronomi.^[52] Tuttavia, la matematica ellenistica entrò in crisi: i romani, fatte salve le nozioni che servivano loro per l'ingegneria, non ebbero alcun interesse verso la matematica che fu sempre più emarginata e assimilata all'astrologia. Secondo alcuni l'inadeguatezza dell'algebra geometrica greca può aver contribuito al tramonto della matematica greco-ellenistica.^[53][54] Gli ultimi matematici degni di nota furono Diofanto di Alessandria che nell'Aritmetica gettò le basi per la teoria delle equazioni diofantee^[55] e lo studioso di geometria Pappo di Alessandria che dimostrò importanti teoremi come il teorema dell'esagono e il teorema di Pappo Guldino.^[56] La scuola alessandrina, che si occupava di matematica e filosofia, subì un duro colpo quando Ipazia, sua massima esponente, venne trucidata dai "parabolani", fanatici cristiani sostenuti dal vescovo Cirillo.^[57]

La matematica delle civiltà precolombiane si sviluppò in modo indipendente dal resto del mondo e non ebbe, a causa di questa limitazione, impatti significativi sul pensiero europeo o asiatico. Tuttavia, le capacità dimostrate dalle popolazioni delle Americhe rappresentano, sul piano storico e antropologico, uno degli eventi di maggior rilievo per la specie umana. Le popolazioni Olmeche e Zapoteche introdussero il sistema "a barre e punti" (che sfrutta somme ripetute tra il numero 5 e il numero 1 per rappresentare numeri di varia grandezza). Le culture Epi-Olmeche e i primi Maya (IV secolo a.C.) compirono il passo rivoluzionario di inventare lo zero come segnaposto (non era, perciò, considerato un vero numero^[58]). Sviluppando un sistema numerico posizionale vigesimale (a base 20), gli stessi Maya raggiunsero livelli superiori a quelli europei in ambito astronomico; calcolando con esattezza la durata dell'anno solare, i cicli lunari e il ciclo di Venere. Parallelamente, l'impero Wari (600-1000 d.C.) e successivamente gli Inca (fino al 1500 d.C.) svilupparono una tradizione matematica distinta, basata sul sistema decimale (base 10). Senza l'uso della scrittura, perfezionarono i quipu (sistemi di corde annodate posizionali), dove ogni filo rappresentava una potenza di dieci e il numero di nodi la cifra in quella posizione.^[59] Tale evento, confermerebbe come il pensiero matematico abbia rivestito per secoli un ruolo primordiale nello sviluppo della specie umana.

Lo sviluppo della matematica indiana non appare sempre lineare: i contributi più innovativi e rivoluzionari sono infatti separati da periodi in cui l'attività si concentrò principalmente sul commento e sul perfezionamento delle opere precedenti, senza produrre nuove svolte concettuali immediate.^[60]

Il Surya Siddhanta, scritto circa nel 400, introduceva le funzioni trigonometriche del seno, coseno e le loro inverse. Gli indiani si occuparono anche di astronomia riuscendo a compilare precise tavole astronomiche che descrivevano il movimento apparente degli astri in cielo. Calcolarono l'anno siderale in 365,2563627 giorni, un valore inferiore di soli 1,4 secondi a quello accettato al giorno d'oggi. Questi lavori, durante il medioevo, furono tradotti in Arabo e in Latino. Nel 499 Aryabhata introdusse il senoverso e compilò le prime tavole trigonometriche. Nell' Aryabhatiya illustrò i metodi di calcolo di aree e volumi dei principali enti geometrici (non tutti corretti), sfruttando la notazione posizionale decimale.^[61]

Nel VII secolo Brahmagupta (598–668) scrisse il Brahma-sphuta-siddhanta introducendo lo 0. A lui vanno ricondotte l'identità e la formula che portano il suo nome, non specificando tuttavia che quest'ultima era valida solo per i quadrilateri ciclici, cioè inscrivibili in una circonferenza. Esplicitò le regole di moltiplicazione tra numeri positivi e negativi.^[62] È da una traduzione del testo che i matematici arabi accettarono il sistema decimale.

Nel XII secolo, Bhāskara (1114 – 1185) scoprì le formule di addizione e sottrazione delle funzioni trigonometriche e concepì dei metodi molto vicini al calcolo differenziale,^[63] introducendo concetti simili alla derivata: per calcolare l'angolo di posizione dell'eclittica, ad esempio, calcolò correttamente l'equivalente della variazione istantanea delle funzioni trigonometriche.^[64] Provò anche un equivalente del Teorema di Rolle e studiò l'equazione di Pell. Affermò che qualsiasi quantità divisa per 0 dà una quantità infinita (khahara).^[65] Secondo una celebre leggenda, il matematico aveva predetto la data in cui sua figlia Lilavati si sarebbe dovuta sposare per avere un matrimonio felice; tuttavia una perla cadde nel complesso meccanismo ad acqua che doveva contare il tempo e così Lilavati rimase vedova. Per consolarla il padre diede il suo nome al suo più importante trattato di matematica.^[66]

Dal XIV secolo Madhava di Sangamagrama scoprì l'attuale espansione in serie di Taylor della funzione arcotangente ottenendo poi varie serie infinite che danno come risultato ${\displaystyle \pi }$ (tra cui la formula nota in occidente come formula di Leibniz) grazie alle quali riuscì a calcolare le prime 11 cifre decimali del numero.^[67] Creò la scuola del Kerala i cui membri nei successivi secoli perfezionarono l'aritmetica con i numeri frazionari e utilizzarono metodi iterativi per la soluzione delle equazioni non lineari. Trovarono inoltre le espansioni in serie di Taylor delle altre funzioni trigonometriche.^[68] Nonostante si fossero avvicinati a concetti quali quello di derivata, i matematici della scuola del Kerala non riuscirono mai a unificare queste scoperte in una teoria globale del calcolo infinitesimale.^[69]

Nel XVI secolo per la matematica indiana, anche per via di un periodo di forte instabilità politica, iniziò il declino.

L'Impero islamico arrivò a dominare, nell'VIII secolo d.C. il Nord Africa, la Penisola iberica e parte dell'India, entrando in contatto con la matematica ellenistica e con quella indiana. Nella seconda metà dell'VIII secolo Baghdad divenne un nuovo centro del sapere a livello mondiale. Sovrani come al-Mansur, Hārūn al-Rashīd e al-Maʾmūn si dimostrarono attenti nei confronti della matematica salvando dalla distruzione molte opere greche che altrimenti sarebbero probabilmente andate perse.^[70] Thābit ibn Qurra fondò una scuola di traduttori che tradusse in arabo le opere di Archimede, Euclide e Apollonio, oltre a vari testi indiani. Spianando il terreno della nascente matematica islamica. Molti tra i più grandi matematici islamici erano persiani.^[71]

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850 Ca), un matematico persiano, scrisse importanti volumi sul sistema di numerazione indiano e sui metodi per risolvere equazioni. La parola "algoritmo" deriva dal suo nome e "Algebra" dal titolo della sua principale opera: l'Al-Jabr, (o al-Jabr wa al-muqābala) (c.820 d.C.). Egli, oltre a introdurre il sistema decimale nel mondo arabo, trovò metodi grafici e analitici per la risoluzione delle equazioni di secondo grado con soluzioni positive (vedi approfondimento).^[72] Il termine al-jabr indicava il trasporto dei termini negativi, da un lato all'altro di un'equazione, tramite cambio di segno.^[73] Egli è considerato da molti il fondatore dell'algebra moderna.

Ibn Qurra studiò i numeri amicabili. Altri sviluppi alla materia furono apportati da Abu Bakr al-Karaji (953-1029) nel suo trattato al-Fakhri. Nel X secolo, Abu l-Wafa tradusse le opere di Diofanto di Alessandria in arabo e studiò la trigonometria ottenendo le formule di addizione e sottrazione per il seno. Alhazen studiò invece l'ottica.

Omar Khayyam (1048-1131) fu poeta e matematico. Diede una soluzione geometrica all'equazione di terzo grado ma non riuscì a risolverla per radicali. Scrisse le Discussioni sulle difficoltà in Euclide nel quale tentava di dimostrare il quinto postulato di Euclide riguardante le rette parallele (data una retta e un punto fuori di essa esiste solo una parallela alla retta data passante per quel punto) partendo dagli altri quattro; l'impresa sarebbe sarà più volte affrontata dai futuri matematici. Il matematico Nasir al-Din Tusi sviluppò invece nel XIII secolo la trigonometria sferica e scoprì la legge dei seni per il triangolo sferico.^[74]

Nel XIV secolo, Ghiyath al-Kashi calcolò il valore di π con 16 decimali. Al-Kashi trovò anche la regola di Ruffini per scoprire la radice ennesima di un'equazione. Nella sua opera si trova il primo esempio conosciuto di dimostrazione per induzione atta a dimostrare il teorema binomiale. Il matematico era anche a conoscenza del triangolo di Tartaglia.^[75]

Nel XIII secolo e nel XIV secolo la matematica araba entrò in crisi a causa di un periodo di forte instabilità politica e religiosa, nonché per il diffondersi di sette ostili al sapere matematico.^[76] I molti popoli che si susseguirono nel mondo arabo dal XII secolo contribuirono al definitivo declino della scienza e della matematica arabe.

Nei primi secoli dopo la fine dell'Impero romano non ci fu quasi nessun progresso nel sapere matematico.^[53][77] Anche se il Quadrivio garantiva una preparazione matematica, le nozioni apprese in aritmetica e geometria erano sostanzialmente minimali. Inoltre, le opere di matematica, in generale non necessarie nel mondo monastico, vennero tradotte meno di frequente, tanto che persino le copie degli Elementi di Euclide iniziarono a scarseggiare nelle biblioteche dell'Europa occidentale e la principale fonte per l'istruzione in matematica divennero i testi di Severino Boezio.^[78]

Verso l'XI secolo la cultura occidentale entrò in contatto con quella araba e grazie anche alla scuola di traduttori di Toledo e a persone come Adelardo di Bath, iniziarono a circolare in Europa le traduzioni dall'arabo di classici matematici antichi come gli Elementi ma anche di lavori arabi quali l'Algebra di al-Khwarizmi e greci come l'Almagesto di Tolomeo.^[79] Verso quel periodo si situa anche la rinascita economica dell'Occidente che portò i commercianti a fare sempre più uso della matematica.

Leonardo Fibonacci (1170-1250 ca), detto anche Leonardo Pisano, fu probabilmente il più grande matematico del periodo.^[80] Nel suo Liber abbaci (1202), fece conoscere in Europa il sistema di numerazione decimale e lo zero.^[81] Nel trattato si trovano molti problemi di natura pratica o commerciale, alcuni di essi comunque svelano le grandi doti di matematico di Fibonacci come quello della moltiplicazione dei conigli che genera la sequenza di Fibonacci.^[82] Nella sua opera vengono esposte anche l'identità di Fibonacci,^[83] il metodo di falsa posizione e quello della doppia falsa posizione.

Nei secoli successivi lo sviluppo della matematica accelerò. Nicola Oresme (1323 – 1382) anticipò anche i concetti di potenza irrazionale e grafico di una funzione: fu infatti il primo ad avere l'idea di rappresentare il movimento con un grafico alla maniera moderna.^[84] Fu uno dei primi a occuparsi di serie infinite, scoprendo i risultati di molte di esse e dimostrando la divergenza della serie armonica.^[85] Lo studio delle serie infinite fu forse l'argomento più innovativo della matematica medioevale. Oresme rimane una delle menti più innovative di tutta la matematica medioevale europea ma molte delle sue idee furono dimenticate e dovettero aspettare secoli per essere riscoperte e rielaborate.

Nel XV secolo si può situare la nascita della matematica europea moderna. Le opere del tedesco Regiomontano apportarono un enorme sviluppo alla trigonometria. Luca Pacioli (1445-1514) riassunse tutte le conoscenze matematiche del tempo nella sua Summa. Gli artisti Leon Battista Alberti, Piero della Francesca e Albrecht Dürer si interessarono invece di prospettiva e di geometria descrittiva.^[86]

Un primo passo nella riscoperta della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado fu fatto da Scipione del Ferro, matematico e professore dell'Università di Bologna, che nei primi due decenni del Cinquecento trovò la soluzione del caso particolare ${\displaystyle x^{3}+px=q}$. Tale soluzione venne poi tramandata dal matematico ad uno dei suoi allievi, Antonio Maria del Fiore. In contemporanea a questi due accademici, il matematico Niccolò Tartaglia studiò le equazioni di terzo grado, riscoprendo autonomamente la stessa soluzione di del Ferro e risolvendo anche il caso ${\displaystyle x^{3}+px^{2}=q}$. Fiore e Tartaglia si sfidarono a un "duello matematico", dove Tartaglia surclassò il proprio avversario.^[87]

A seguito della vittoria, Tartaglia subì le insistenti lusinghe di Girolamo Cardano e, cedendo a tali elogi, accettò di rivelare a quest'ultimo il metodo risolutivo, in forma di versi criptici, ottenendo in cambio un solenne giuramento di riservatezza. Cardano tuttavia, giunto a Bologna, e ottenuto accesso ai manoscritti inediti del defunto del Ferro, scelse di rompere tale giuramento: all'interno della propria Ars Magna (1545), egli estese il metodo a tutte le possibili equazioni cubiche, trovando soluzioni per i casi più problematici. L'evento scatenò una celebre disputa tra Cardano e lo stesso Tartaglia.^[88] Nell'Ars magna veniva anche esposto il metodo risolutivo dell'equazione di quarto grado, scoperto non da Cardano, bensì dal suo allievo Lodovico Ferrari. Molti considerano perciò la pubblicazione dell'Ars Magna come il vero atto d'inizio della matematica moderna.^[89]

Tentando di generalizzare la formula di Tartaglia, Cardano si accorse che in alcuni casi si sarebbe giunti al calcolo della radice quadrata di un numero negativo (egli incluse un esempio nell'Ars Magna, ma non riuscì ad approfondirne le implicazioni). Fu Rafael Bombelli nella sua Algebra il primo a trattare le radici quadrate di numeri negativi. Invece di rigettare queste operazioni come assurde, Bombelli accettò l'esistenza di tali numeri, definendo le regole operative per quello che chiamò più di meno (${\displaystyle +i}$) e meno di meno (${\displaystyle -i}$).^[90][91] Tuttavia, sebbene introdotti da Bombelli, i numeri immaginari furono completamente accettati solo nell'Ottocento.^[90]

Un passo in avanti verso la generalizzazione della matematica si ebbe con l'introduzione dei segni e del calcolo letterale, che andarono a sostituire le espressioni retoriche prima utilizzate per rappresentare ogni sorta di procedimento computazionale. Infatti, già nel 1489 Johannes Widman usò per la prima volta i segni + e - per descrivere somme e sottrazioni mentre nel 1557 Robert Recorde inventò il segno =. Successivamente, nel 1631 William Oughtred utilizzò il segno x per indicare la moltiplicazione e Thomas Harriot i segni > e < per maggiore e minore e · per la moltiplicazione. Anche il segno ${\displaystyle {\sqrt {}}}$ venne introdotto nello stesso periodo da Christoph Rudolff. Il maggior contributo in tale direzione fu compiuto da François Viète, un matematico francese, che suggerì di scrivere le equazioni usando le lettere per indicare sia le variabili note che quelle ignote, permettendo uno studio più ampio e generale rispetto a delle singole equazioni numeriche. Tale metodo fu in seguito perfezionato poi da Cartesio.^[92] Per dar prova dell'efficacia del suo metodo, Viète risolse un'equazione goniometrica di 45° grado, impresa che sarebbe risultata assai complicata utilizzando le notazioni precedenti.^[93]

Nonostante un'evoluzione del linguaggio matematico, il calcolo era ancora strettamente legato alle tradizioni medievali, fortemente indirizzate verso l'uso delle frazioni a scopo computazionale. Un grande passo in avanti fu compiuto grazie al matematico fiammingo Simon Stevin. Nell'opera del 1585 De Thiende, egli elaborò e introdusse per primo le regole del calcolo decimale, adottato con entusiasmo dai matematici dell'epoca e non solo. La notazione di Stevin, complicata e ripresa dai testi di Bombelli, non ebbe successo al contrario dell'uso della virgola come separatore, il cui primo uso è rintracciabile a un testo del 1593 di Christopher Clavius,^[94] uno dei principali contributori all'invenzione del calendario gregoriano al pari di Luigi Lilio.^[95]

Il Cinquecento fu un periodo di progresso anche per la trigonometria. Nel 1522 Johann Werner pubblicò un'opera sulla geometria sferica, introducendo delle formule goniometriche oggi note come formule di Werner.^[96] Diversi decenni dopo, Viète dimostrò rigorosamente la validità di alcune formule di prostaferesi, già note da secoli nella matematica araba.^[97] Un'evoluzione dal punto di vista concettuale si ebbe tramite il lavoro di Georg Joachim Rheticus, allievo di Copernico, che fu il primo a definire le funzioni trigonometriche come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo, piuttosto che come lunghezze di archi di cerchio. Infine nel 1595 Bartholomaeus Pitiscus pubblicò il primo trattato che portava il titolo Trigonometria.^[98]

La prima grande innovazione matematica del Seicento si deve al francese René Descartes, meglio conosciuto in Italia come Cartesio. Nel 1637, Cartesio pubblicò una serie di trattati; uno di essi, La Géométrie, introduceva per la prima volta al pubblico il concetto di piano cartesiano, uno strumento che permetteva di utilizzare strumenti algebrici per studiare curve ed altre figure geometriche.^[99] L’efficacia di questo nuovo metodo era già stata provata dallo stesso Cartesio diversi anni prima, quando era riuscito a risolvere il caso generale del teorema di Pappo, un problema della matematica greca per secoli rimasto irrisolto.^[100] Lo studio della geometria di Cartesio era andato ben oltre, affrontando anche il problema delle tangenti, ossia determinare quali rette sono tangenti ad una curva in un determinato punto.^[101]

Parallelamente a Cartesio, anche Pierre Fermat, un avvocato appassionato di matematica, si era approcciato agli stesi problemi, in modo del tutto originale e indipendente, sebbene i suoi risultati fossero stati raccolti in un manoscritto ancora non pubblicato, Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, che però aveva inviato ad un circolo matematico parigino nel 1636.^[102] Le tensioni tra i due portarono ad un celebre scambio di accuse che finì per coinvolgere l’élite dei matematici francesi dell’epoca. Rispetto al problema delle tangenti, Fermat aveva concepito una soluzione equivalente ma che portava ad un’interpretazione diversa da quella cartesiana, avvicinandosi molto di più al moderno concetto di derivata. Lo sviluppo di Fermat sul problema delle tangenti portò anche ad alcuni progressi dal punto di vista analitico: sfruttando un'idea geometrica, Fermat identificò un criterio necessario per individuare i punti stazionari di una funzione nel 1637.^[101]

Parallelamente, in Italia, Bonaventura Cavalieri ed Evangelista Torricelli, spinti dall’esigenza di calcolare aree e volume di alcune particolari figure, avevano introdotto il metodo degli indivisibili.^[103][104] I loro progressi portarono al principio di Cavalieri, allo studio dei teoremi di Pappo-Guldino e ai primi passi verso lo sviluppo del calcolo integrale.

Il calcolo infinitesimale nacque pochi anni dopo, grazie all'opera di Isaac Newton e Gottfried Leibniz che svilupparono contemporaneamente le idee fondamentali come quelle di derivazione e integrazione e dimostrarono il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale. Newton, necessitando di strumenti matematici più avanzati per affrontare il problema della gravitazione dei corpi celesti, sviluppò per primo la teoria del calcolo infinitesimale attorno al 1666 ma tenne per sé le sue scoperte. Leibniz, invece, giunse in modo parallelo alle stesse conclusioni circa vent'anni dopo ma le pubblicò per primo. Tra i due nacque un'accesissima disputa su chi avesse il merito della scoperta. Ad ogni modo, il calcolo infinitesimale si diffuse molto rapidamente in Europa.^[105]

Tra i sostenitori del calcolo ci furono i fratelli Jakob e Johann Bernoulli, due membri di una prodigiosa famiglia che avrebbe dato al mondo più di un talento matematico. I due svilupparono il calcolo affrontando problemi come quello della brachistocrona e della rettificazione della lemniscata. Anche il marchese de l'Hôpital studiò il calcolo scoprendo la cosiddetta regola di De l'Hôpital, sebbene vi sia un'accesa disputa sulla sua origine, da molti attribuita a Johann Bernoulli.

Blaise Pascal fornì un contributo sistematico alla combinatoria, riscoprendo in autonomia l'esistenza del triangolo di Tartaglia, di cui dimostrò le proprietà matematiche adoperando, per la prima volta in modo rigoroso, il principio di induzione matematica. Egli capì che ogni elemento del triangolo corrisponde a un coefficiente binomiale, adoperabile per calcolare le combinazioni possibili di un insieme di elementi.

Nel 1654, il Cavaliere di Méré, che era un accanito giocatore d’azzardo, pose a Pascal il cosiddetto "problema della spartizione della posta". Per risolverlo, egli intraprese una fitta corrispondenza con Pierre de Fermat. Attraverso lo scambio di lettere, i due matematici risolsero il problema specifico, gettando infine, le basi del moderno calcolo delle probabilità. Pascal, in particolare, utilizzò il suo triangolo aritmetico per determinare le eventualità di vittoria future, introducendo il concetto di valore atteso e trasformando lo studio della sorte da una pratica empirica a una disciplina scientifica rigorosa. Christiaan Huygens, venuto a conoscenza di questi studi, pubblicò il primo trattato sistematico sulla probabilità. In seguito, Jakob Bernoulli enuncerà la legge dei grandi numeri.

Nella seconda parte della propria carriera da matematico dilettante, Fermat si interessò alla teoria dei numeri. Egli studiò l'equazione di Pell (chiamata anche equazione di Pell-Fermat); introdusse i numeri primi di Fermat; congetturò infine una quantità impressionante di teoremi come il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. La maggior parte di questi teoremi fu dimostrata da Euler ma per la congettura più famosa del matematico francese, ossia l'ultimo teorema di Fermat, si dovette attendere addirittura fino al 1994.

Già introdotte nell'antica Grecia da Zenone di Elea e Archimede di Siracusa, le serie infinite furono studiate a fondo da matematici arabi e medievali, poi riprese e diffuse nel Rinascimento italiano da figure quali Niccolò Tartaglia e Luca Pacioli. Tuttavia solo in questo secolo quella delle serie sarà considerata una branca centrale della matematica.

John Wallis diede origine al prodotto di Wallis, avvicinandosi in modo sorprendente al calcolo infinitesimale e compiendo delle vere e proprie integrazioni. Pietro Mengoli e Nicolaus Mercator scoprirono le serie che oggi portano il loro nome. A Gottfried Leibniz si deve un'ulteriore importante risultato: la formula di Leibniz per pi. Isaac Barrow e James Gregory portarono avanti queste idee consolidando ulteriormente le basi del futuro calcolo infinitesimale.

Le grandi esplorazioni geografiche e le rivoluzioni astronomiche (Copernico, Keplero), costringevano gli scienziati e i matematici a calcoli sempre più complessi, al punto che la matematica era divenuta d'un tratto un rallentamento al progresso della scienza. Per tracciare rotte oceaniche o calcolare le orbite dei pianeti, gli scienziati dovevano moltiplicare numeri con moltissime cifre decimali, un processo lento e soggetto a errori umani.

L'innovazione più significativa del periodo fu tuttavia l'introduzione dei logaritmi, descritti per la prima volta da John Napier nel trattato del 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Questa scoperta fu rivoluzionaria, poiché facilitò ulteriormente i calcoli astronomici, riducendo le moltiplicazioni a somme di logaritmi e l'elevazione a potenza in moltiplicazioni tra logaritmi ed esponenti.^[106]

Il matematico giapponese Seki Takakazu fu il primo a scrivere un algoritmo per il calcolo di quello che noi chiamiamo "determinante", introducendo metodi risolutivi per matrici 2x2, 3x3 e anche 4x4 o 5x5. A causa dell'isolamento del Giappone, queste scoperte rimasero sconosciute in Occidente per secoli. Leibniz arrivò a conclusioni analoghe dieci anni più tardi. In una lettera a de l'Hôpital, descrisse un metodo per determinare se un sistema di equazioni lineari avesse soluzioni, sfruttando una combinazione di coefficienti che oggi riconosceremmo come un determinante. Anche in questo caso, la teoria al riguardo rimase incompleta fino al XIX secolo.

La crescente esigenza di eseguire calcoli sempre più complessi spinse Pascal, Leibniz e Wilhelm Schickard a progettare le prime calcolatrici meccaniche. Tuttavia, questi strumenti rimasero prototipi e non furono mai prodotti su scala commerciale. Solo nel XIX secolo, grazie alla rivoluzione industriale, divenne possibile realizzare apparecchiature di calcolo pratiche, affidabili e accessibili dal punto di vista dei costi. In collaborazione con Leibniz, i fratelli Bernoulli furono tra i primi a studiare sistematicamente le equazioni differenziali, aprendo la strada a importanti sviluppi futuri dell’analisi matematica.

Il missionario gesuita italiano Matteo Ricci e il matematico cinese Xu Guangqi tradussero i primi libri degli Elementi di Euclide in cinese nel 1607, basandosi su studi della fine del secolo precedente.^[107] Questo evento segnò l'integrazione della geometria deduttiva greca nella tradizione matematica cinese, rimasta fino a quel momento legata alla propria natura pratica e algoritmica.

Eulero fu uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.^[108] Produsse più di 886 pubblicazioni su ogni branca della matematica nonostante nell'ultima parte della sua vita fosse divenuto cieco. Tra le opere principali spicca l' Introductio in analysin infinitorum. Diede importanti contributi alla notazione matematica introducendo i simboli oggi accettati per le funzioni trigonometriche, la sommatoria, la funzione generica e per i numeri e e i. Diffuse anche l'uso del simbolo ${\displaystyle \pi }$.

Proseguendo l'opera dei Bernoulli, Eulero trovò la soluzione al problema di Basilea, introdusse la costante di Eulero-Mascheroni e le funzioni gamma e beta. Trovò poi molti metodi per la soluzione delle equazioni differenziali usati anche oggi e insieme all'amico Jean d'Alembert affrontò molti problemi di meccanica razionale come la determinazione esatta del moto della Luna. Insieme a d'Alembert e a Daniel Bernoulli studiò poi il moto dei fluidi.

In questo periodo i numeri immaginari e quelli complessi furono accettati completamente. L'analisi complessa divenne una branca importante della matematica: Eulero studiò le serie di Taylor trovando le espansioni in serie di molte funzioni. Grazie a ciò riuscì a scoprire le estensioni di moltissime funzioni reali in campo complesso, come per esempio le funzioni trigonometriche, la funzione logaritmica e la funzione esponenziale. Grazie a quest'ultima estensione trovò l'identità di Eulero, considerata da molti la più bella formula della matematica. Altri contributi alla materia giunsero da Abraham de Moivre.

In questo secolo si assistette anche alla nascita della topologia e della teoria dei grafi soprattutto per via delle scoperte di Eulero. Egli infatti risolse il problema dei ponti di Königsberg che chiedeva se fosse possibile attraversare tutti i ponti della città di Königsberg una sola volta e tornare al punto di partenza. Eulero scoprì che ciò non era possibile e il ragionamento che usò sta alla base della moderna teoria dei grafi. Il matematico svizzero scoprì poi anche la formula che mette in relazione il numero dei vertici delle facce e degli spigoli di un poliedro convesso. Queste scoperte possono essere considerate come l'inizio della moderna topologia.

Fu anche un importante teorico dei numeri, materia che ebbe un notevole sviluppo in questo secolo. Scoprì il prodotto di Eulero, grazie al quale fornì una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, dando così di fatto inizio alla teoria analitica dei numeri che usa procedimenti analitici per raggiungere risultati aritmetici. Dimostrò poi molti dei teoremi lasciati indimostrati da Fermat e introdusse la funzione phi di Eulero. E' da un suo carteggio con Christian Goldbach che si andò formulando la famosa congettura, tutt'oggi irrisolta, che afferma che ogni numero pari eccetto 2 è esprimibile come somma di due numeri primi.

In questo contesto di diffusione della meccanica classica, una figura di primaria importanza fu Émilie du Châtelet. La sua traduzione e il suo commento dei Principia di Isaac Newton restano tuttora l'edizione francese di riferimento e furono fondamentali per l'assimilazione del calcolo infinitesimale e della fisica newtoniana nell'Europa continentale. Du Châtelet contribuì inoltre alla definizione del concetto di energia cinetica, all'epoca chiamata vis viva, sostenendo, contrariamente a Newton e in accordo con Leibniz, che essa dipendesse dal quadrato della velocità.

Nella seconda metà del secolo Parigi divenne il più importante centro matematico e scientifico del tempo. Questo avvenne grazie alla presenza di matematici come Pierre Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange e all'istituzione di scuole di carattere scientifico come l'École polytechnique e l'École normale supérieure che fornirono validi matematici alla Francia. Laplace e Lagrange si occuparono di meccanica celeste che, dopo il lavoro di Newton, era diventato uno degli argomenti più trattati del secolo. Laplace nella sua Mécanique Céleste dimostrò che il sistema solare sarebbe rimasto stabile per un lungo intervallo di tempo. Introdusse le armoniche sferiche la trasformata di Laplace e il laplaciano. Fu uno dei primi a utilizzare il concetto di potenziale dimostrando che esso soddisfa sempre l'equazione di Laplace. Lagrange invece nella sua Mécanique analytique introdusse il concetto di funzione lagrangiana. Insieme a Eulero fu tra i creatori del calcolo delle variazioni ricavando le equazioni di Eulero-Lagrange. Studiò inoltre il problema dei tre corpi trovando i punti di Lagrange.

Lorenzo Mascheroni dimostrò che se una retta si considera nota quando sono stati individuati due suoi punti allora tutte le figure costruibili con riga e compasso sono costruibili col solo compasso. Vi furono anche diversi tentativi di dimostrare il quinto postulato di Euclide partendo dagli altri quattro. Tra questi si ricordano quello di Girolamo Saccheri, Vitale Giordano, e Johann Heinrich Lambert. Quest'ultimo si avvicinò molto alla geometria non euclidea. Lambert è ricordato anche per aver dimostrato che ${\displaystyle \pi }$ è irrazionale (vedi dimostrazione della irrazionalità di π).

Gaspard Monge dette invece contributi fondamentali alla geometria descrittiva.

Ci furono sviluppi anche nel campo del calcolo delle probabilità: Thomas Bayes dimostrò il teorema che porta il suo nome e Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon diede inizio al metodo Monte Carlo con il famoso problema dell'ago di Buffon.

Anche Laplace si occupò di teoria della probabilità e statistica riscoprendo il teorema di Bayes e fornendo una dimostrazione rigorosa del metodo dei minimi quadrati.

Per quanto concerne l'analisi, Lagrange scoprì il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la risoluzione delle equazioni differenziali ed introdusse la notazione usata ancora oggi per il calcolo differenziale e trovò un metodo per la soluzione delle equazioni di qualunque grado che però si rivela utile solo fino al quarto. Dimostrò poi il teorema di Lagrange e contribuì molto anche alla teoria dei numeri dimostrando ad esempio il teorema dei quattro quadrati.

Un altro importante contributo fu dato da Adrien-Marie Legendre che studiò gli integrali ellittici introducendo quelli della prima e della seconda specie. Congetturò il metodo dei minimi quadrati indipendentemente da Gauss. D'Alembert riuscì invece a risolvere l'equazione differenziale nota come equazione di d'Alembert-Lagrange. Brook Taylor invece riscoprì le serie di Taylor (già note in realtà ad altri matematici) che avrebbero avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'analisi complessa.

D'Alembert studiò poi vari problemi di teoria dei giochi e il calcolo delle probabilità e si occupò anche di algebra cercando a più riprese di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra. Nonostante queste dimostrazioni fossero in parte lacunose e il teorema sarebbe stato dimostrato rigorosamente solo da Gauss, il teorema è spesso chiamato teorema di d'Alembert.

Riguardo alla teoria dei numeri, Legendre dimostrò l'ultimo teorema di Fermat per il caso n=5, dimostrò l'irrazionalità di ${\displaystyle \pi ^{2}}$ e scoprì la legge di reciprocità quadratica esponendola nella sua forma attuale. Sempre indipendentemente da Gauss congetturò il teorema dei numeri primi.

Infine, nel 1742 Johann Christoph Heilbronner pubblica la Historia matheseos, la prima opera a trattare esplicitamente di storia della matematica.

Fino a tutto il XIX secolo, l'algebra era dedicata principalmente alla teoria delle equazioni polinomiali. Quando Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dichiarò di aver dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra nel 1799, l'evento fu considerato il traguardo definitivo di tutta l'algebra dell'epoca, poiché risolveva, in linea teorica, il problema centrale della disciplina. Nella sua dimostrazione, Gauss introdusse il piano complesso, che avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'analisi complessa.

Sebbene le basi del concetto fossero già emerse tra il XVII e il XVIII secolo con le intuizioni di Leibniz, Seki Kōwa, Cramer e Bézout, nel XIX secolo il determinante viene elevato a disciplina autonoma. Grazie ai lavori sistematici di Augustin-Louis Cauchy e Carl Jacobi, esso smise di essere una semplice regola per i sistemi lineari, costituendo una funzione matematica a sé stante e uno strumento analitico imprescindibile per la fisica moderna e il calcolo infinitesimale.

Évariste Galois (1811-1832) e Niels Abel (1802-1829) (entrambi morti giovanissimi), studiarono la risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto. Abel dimostrò il teorema di Abel-Ruffini che stabilisce l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto grado. Galois invece stabilì la non risolubilità per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto. Il suo lavoro è all'origine della teoria di Galois, fondamentale nell'ambito dell'algebra astratta.

L’analisi matematica assunse fondamenta sempre più rigorose. Augustin-Louis Cauchy introdusse una definizione formale di derivata come il limite del rapporto incrementale di una funzione rispetto alla variabile indipendente e una prima formulazione del concetto di funzione continua. Egli contribuì inoltre a chiarire il concetto di limite, sebbene la sua definizione verrà perfezionata da Karl Weierstrass. Bernhard Riemann chiarì il concetto di integrale (integrale di Riemann). Bernard Bolzano anticipò numerose di queste scoperte, ma la sua opera restò sconosciuta per decenni. Su queste basi, Cauchy seppe estendere i concetti del calcolo infinitesimale alle funzioni a variabile complessa, scoprendo il teorema integrale e la formula integrale di Cauchy. Scoprì anche il criterio di convergenza di Cauchy e contribuì alla statistica (variabile casuale di Cauchy).

Nell'ambito dell'analisi applicata alla fisica, Sophie Germain ricevette il premio dell'Accademia delle scienze di Parigi per la sua ricerca, che pose le basi per la moderna teoria dell'elasticità e influenzò lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Partendo da un precedente lavoro di Abel, Jacobi diede importanti contributi alla comprensione degli integrali ellittici scoprendo la doppia periodicità di alcuni di essi e introducendo le funzioni ellittiche jacobiane. Joseph Fourier studiò il movimento ondulatorio e il calore, scoprendo poi le serie di Fourier e la trasformata di Fourier.

La teoria dei numeri fu influenzata da Carl Friedrich Gauss, che nel 1801 pubblicò le Disquisitiones Arithmeticae. Egli introdusse l’aritmetica modulare (chiarendo e formalizzando numerosi risultati teorici) e il concetto di intero gaussiano. Congetturò poi indipendentemente da Legendre il metodo dei minimi quadrati e il teorema dei numeri primi, che mette in relazione la distribuzione di questi con la funzione logaritmica. Il teorema sarà dimostrato solo nel 1894 da Jacques Hadamard e Charles de La Vallée-Poussin. Gauss fu anche un grande statistico; la variabile casuale normale che descrive la distribuzione degli errori è dovuta a lui.

Sophie Germain diede contributi fondamentali allo studio dell'Ultimo teorema di Fermat. Corrispondendo con Gauss sotto lo pseudonimo di Monsieur LeBlanc, ella dimostrò l'impossibilità dell'equazione di Fermat per un'intera classe di numeri primi (i numeri primi di Sophie Germain), introducendo il teorema di Sophie Germain. Il suo lavoro costituiva il progresso più significativo sul teorema sin dalla sua formulazione precedendo i contributi di Kummer a metà del secolo.

Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) erediterà la cattedra di Gauss a Gottinga. Dimostrò il teorema secondo il quale in tutte le progressioni aritmetiche si trovano infiniti numeri primi, (teorema di Dirichlet) usando complessi metodi analitici. Introdusse anche la convoluzione di Dirichlet. Bernhard Riemann (1826-1866), fu successore di Dirichlet e, in un articolo del 1859, introdusse formalmente la funzione zeta di Riemann. Intuì la connessione tra la funzione e i numeri primi, congetturando che i suoi zeri complessi avessero tutti parte reale 1/2. L'ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta; se lo fosse, moltissimi teoremi sarebbero dimostrati, permettendo di approssimare la distribuzione dei numeri primi nel modo migliore possibile.

Joseph Liouville dimostrò nel 1844 l'esistenza dei numeri trascendenti costruendo appositamente alcuni esempi come la costante di Liouville. In seguito, Charles Hermite dimostrò la trascendenza di e e Ferdinand von Lindemann quella di π. Grazie a queste e altre scoperte si dimostrò la non risolubilità con riga e compasso dei tre classici problemi dell'antica Grecia.

La geometria, affrontato un periodo di profonda stagnazione, tornò a essere materia di studio. Nello specifico, Gauss formalizzò le condizioni necessarie perché un poligono regolare possa essere costruito usando solo riga e compasso, risolvendo un problema che restava aperto da millenni. Lo stesso Gauss diede inizio a una nuova branca della geometria, la geometria differenziale, introducendo inoltre il concetto di curvatura di una superficie. Jakob Steiner (1796-1863) dimostrò che tutte le figure costruibili usando riga e compasso possono essere costruite usando solo la riga e una circonferenza iniziale. Abbozzò poi la prima dimostrazione del problema isoperimetrico che sarebbe stata completata da altri. Julius Plücker introdusse il metodo delle notazioni geometriche abbreviate e dimostrò il principio di dualità. Studiò la possibilità di una geometria a quattro o più dimensioni spaziali. Insieme ad August Ferdinand Möbius introdusse le coordinate omogenee. Möbius introdusse poi la funzione di Möbius e studiò la topologia (nastro di Möbius).

L'innovazione più importante del secolo furono le geometrie non euclidee. Gauss, cercando di dimostrare il V postulato di Euclide, arrivò alla rivoluzionaria conclusione che potevano esistere geometrie indipendenti dal postulato e iniziò a studiare la geometria iperbolica. In questa geometria per un punto passano infinite rette che non incontrano una retta data, e la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore a 180º. Janos Bolyai arrivò alla stessa conclusione, tuttavia, il principale artefice della geometria iperbolica fu il russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856).

Riemann diede un contributo fondamentale allo studio delle geometrie non euclidee, definendo la linea retta come la geodetica di uno spazio, e alla topologia, introducendo le superfici di Riemann. Studiò poi la geometria sferica e la geometria ellittica (riemanniana). In questa geometria non esistono rette parallele, in quanto una retta è un cerchio massimo, e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre superiore a 180º. Anticipò i concetti di metrica e tensore. Einstein usò i suoi risultati per descrivere lo spazio della relatività generale.

Nonostante le loro applicazioni, queste geometrie innovative subirono forti resistenze. Fu grazie a Henri Poincaré, Felix Klein e Eugenio Beltrami, che ne dimostrarono la coerenza e l’indipendenza dal V postulato, che vennero finalmente accettate. Essi scoprirono inoltre il disco di Poincaré e la pseudosfera, due modelli fisici di geometria iperbolica. Poincaré fu anche l'inventore di quella importante branca della topologia nota come topologia algebrica e apportò contributi in numerosi ambiti (come la meccanica). Perciò è spesso considerato il padre della topologia moderna. Scoprì le funzioni fuchsiane, formulò la famosa congettura di Poincaré e introdusse l'attrattore strano ponendosi così tra i precursori della teoria del caos. Felix Klein introdusse il concetto algebrico di gruppo in geometria ottenendo definizioni molto generali. Scoprì anche la famosa superficie topologica nota come bottiglia di Klein.

Verso la metà del XIX secolo nacque l'algebra astratta^[109]. Galois fu precursore in questo campo introducendo i concetti di gruppo e di permutazione, egli fu inoltre il primo a collegare la teoria dei gruppi, già anticipata da lavori di Lagrange e Cauchy ma soprattutto di Abel (gruppo abeliano), con la teoria dei campi. I suoi lavori pionieristici saranno formalizzati e sviluppati successivamente da Leopold Kronecker. Queste nuove teorie algebriche destarono attenzione in Inghilterra dove da più di un secolo la matematica era caduta in una fase di torpore. L'irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865), volendo estendere alla terza dimensione il piano di Gauss, introdusse i quaternioni, creando così un'algebra che non seguiva le regole di quella classica, mancante della proprietà commutativa della moltiplicazione. Hamilton riformulò in maniera astratta la meccanica lagrangiana (meccanica hamiltoniana) e dimostrò il teorema di Cayley-Hamilton. Arthur Cayley studiò invece l'algebra delle matrici definendo i concetti di moltiplicazione e somma su questi enti, oltre all'algebra degli ottetti chiamata spesso anche algebra di Cayley. George Boole (1815-1864), infine, definì le operazioni algebriche per gli insiemi, dando inizio così alla cosiddetta algebra di Boole. Questa teoria avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo della logica matematica, di cui Boole viene dunque considerato il padre, e della teoria dell'informazione.

La seconda metà del secolo vide il fiorire della logica, con lo studio del concetto di numero e i primi tentativi di una sua definizione. Weiestrass e Richard Dedekind definirono il concetto di numero reale partendo da quello di numero naturale e di numero razionale. Il logico Gottlob Frege (1848-1925) cercò di definire il concetto di numero naturale su basi logiche, ponendo le basi dell'intera matematica nella logica. Tuttavia la sua definizione basata sul concetto di cardinalità di un insieme fu messa in crisi all'inizio del secolo successivo. Giuseppe Peano (1858-1932) tentò invece di basare la matematica in modo assiomatico. Introdusse quindi cinque assiomi che descrivevano il concetto di numero naturale spesso chiamati assiomi di Peano. Anche questo tentativo era però destinato a fallire. Dedekind definì per primo l'infinità di un insieme come l'idea che esso potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme. Partendo da questo lavoro Georg Cantor (1845-1918) studiò gli insiemi infiniti, deducendo che i numeri interi fossero tanti quanti i numeri razionali (si tratta, cioè di due insiemi equipotenti) ma che l'insieme dei numeri reali fosse più grande di quello dei razionali. Congetturò poi che non vi fossero altre potenzialità di infinito tra questi due insiemi. La congettura è chiamata ipotesi del continuo. Anche se queste scoperte subirono forti critiche, oggi le idee di Cantor sono alla base della moderna teoria degli insiemi.

L’emergere delle geometrie non euclidee e concetti controintuitivi come gli insiemi infiniti mise in crisi l’idea di una matematica fondata unicamente sulla geometria euclidea. Gottlob Frege credette di garantirne le basi tramite il logicismo, ma il paradosso di Russell ne rivelò le contraddizioni, causando un rinnovato smarrimento intellettuale. Quest'evento spinse Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel a riformulare la teoria su base interamente assiomatica: il cosiddetto sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel. A questi, viene aggiunto anche l'assioma della scelta senza il quale non si possono dimostrare alcuni importanti teoremi (il sistema risultante prende perciò il nome "ZFC"). L'indipendenza di tale assioma dai precedenti fu provata da Paul Cohen nel 1963. Lo stesso Russell cercò parallelamente di rifondare la matematica su degli assiomi, in collaborazione a Alfred North Whitehead. Tuttavia, il "fallimento" di queste impostazioni assiomatiche (inclusa quella tentata da Giuseppe Peano) fu decretato nel 1931 da Kurt Gödel con il suo famoso teorema di incompletezza. Per la prima volta fu dimostrato che, in ogni sistema assiomatico coerente, esistono proposizioni indecidibili (ovvero non dimostrabili, né confutabili). Lo sgomento causato dal teorema aumentò quando Gödel e Cohen dimostrarono che l'ipotesi del continuo è indipendente dal sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel: tale problema non ha quindi alcuna soluzione, che possa essere ricercata matematicamente.

Nonostante la formalizzazione dell'analisi sia avvenuta nel XIX secolo a opera di matematici come Cauchy e Weierstrass, all'inizio del Novecento emersero i limiti dell'integrale di Riemann, che si rivelò inadeguato nel gestire successioni di funzioni e spazi funzionali completi. Per risolvere tali problematiche, nel 1902 Henri Lebesgue riformulò il concetto di integrazione basandolo sulla teoria della misura, estendendo enormemente la classe delle funzioni integrabili e fornendo strumenti più potenti per l'analisi dei limiti.

Parallelamente, in ambito fisico e ingegneristico, venivano utilizzati strumenti euristici "impropri" come il calcolo operazionale di Heaviside (fine Ottocento) e la delta di Dirac (anni '20), che sfuggivano alla definizione classica di funzione. Fu Laurent Schwartz, verso la metà del XX secolo, a unificare e giustificare rigorosamente questi concetti introducendo la teoria delle distribuzioni, che estese la nozione di derivata anche a funzioni non derivabili in senso classico e a oggetti singolari. Più tardi, Abraham Robinson utilizzò la logica matematica per sviluppare i numeri iperreali e l'analisi non standard. Tale approccio permise di recuperare e formalizzare in modo rigoroso l'uso degli infinitesimi, precedentemente impiegati in modo intuitivo da Leibniz e Newton, offrendo una fondazione alternativa ai metodi dell'analisi classica.

Fino al XIX secolo, l'algebra era concepita essenzialmente come l'arte del calcolo e della risoluzione di equazioni. Ben presto ci si rese conto che per affrontare problemi di maggiore complessità era necessario indagare le regole profonde che governano gli enti numerici, spingendo l'algebra verso lo studio delle strutture assiomatiche astratte. Definita da Einstein e Hilbert come la donna più importante nella storia della matematica, Emmy Noether gettò le basi dell'algebra moderna attraverso i suoi studi su anelli, campi e ideali (si ricordino gli anelli noetheriani). Simultaneamente, l'avvento della Teoria delle Categorie e dell'algebra omologica, permise di unificare branche diverse della matematica, fornendo solide basi per descrivere le strutture. Alexander Grothendieck rifondò la Geometria Algebrica ridefinendo i concetti di spazio e punto attraverso l'uso degli schemi. I contributi di Ernst Steinitz alla classificazione dei campi portarono l'attenzione dei matematici allo studio dei gruppi semplici finiti. Nel 1972, Daniel Gorenstein annunciò a riguardo la nascita di un vasto programma, che coinvolse circa cento ricercatori (tra cui John Conway) e si concluse sostanzialmente nel 1985 (con revisioni successive) Oggi sappiamo che queste strutture astratte, dagli schemi di Grothendieck ai gruppi mostruosi, giocano un ruolo cruciale nella fisica teorica contemporanea, in particolare nella fisica delle particelle e nella teoria delle stringhe.

La topologia evolse rapidamente dai fondamenti geometrici verso una profonda integrazione con l'algebra. I lavori pionieristici di Henri Poincaré spinsero, nel 1910 Luitzen Brouwer a dimostrare il celebre teorema del punto fisso. Nei decenni successivi, lo sviluppo di potenti strumenti come l'omologia e l'omotopia permise la nascita della moderna topologia algebrica. In ambito differenziale, la materia subì una scossa negli anni '50 quando John Milnor scoprì l'esistenza delle "sfere esotiche", dimostrando che una varietà topologica può ammettere più strutture differenziali distinte. Grandi progressi furono compiuti sulla Congettura di Poincaré: Stephen Smale la risolse per tutte le dimensioni superiori a 5, mentre Michael Freedman estese la dimostrazione alla dimensione 4 all'inizio degli anni '80. Nello stesso periodo, William Thurston rivoluzionò lo studio delle varietà tridimensionali formulando la Congettura di geometrizzazione, che proponeva una classificazione geometrica completa degli spazi 3D. Il secolo vide inoltre una rinascita della Teoria dei nodi, grazie all'introduzione di nuovi invarianti polinomiali (come il polinomio di Jones). Questi sviluppi teorici gettarono le basi per la risoluzione definitiva delle congetture di Poincaré e di geometrizzazione, completata da Grigorij Perelman all'alba del XXI secolo.

L'autodidatta indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920) teorizzò molti importanti teoremi e formule, incluse molte approssimazioni di pi e la funzione di partizione. Introdusse la funzione mock theta. Aleksandr Gel'fond dimostrò il teorema di Gel'fond, risolvendo parzialmente la congettura sui numeri trascendenti contenuta nel settimo problema di Hilbert. Atle Selberg (1917-2007) e Paul Erdős (1913-1996) dettero nel 1949 una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. Erdös fu un matematico molto prolifico. Operò soprattutto in teoria dei numeri, calcolo combinatorio e teoria dei grafi ottenendo risultati importanti. In suo onore i matematici hanno definito il numero di Erdős. Nel 1994, Andrew Wiles dimostrò l'Ultimo teorema di Fermat, grazie a varie tecniche di algebra moderna. Alcuni di questi strumenti erano stati oggetto di lavoro di André Weil, un matematico che si era interessato di equazioni diofantee, curve ellittiche e gruppi di Lie.

In geometria, dopo la classificazione dei 230 gruppi di simmetria spaziali, dei 7 lineari e dei 17 tipi di simmetrie planari, si iniziò a studiare le tassellature. A Roger Penrose si deve la tassellatura di Penrose che copre il piano in modo aperiodico. Alain Connes sviluppò la geometria non commutativa. Due congetture sono state risolte usando in modo massiccio il computer: la congettura di Keplero (1998) riguardante gli impacchettamenti sferici e il Teorema dei quattro colori (1976) secondo cui ogni mappa può essere colorata facendo in modo che le regioni confinanti abbiano colori diversi usando soltanto 4 colori. L'uso del computer è stato fondamentale nello studio dei frattali: curve dotate di area finita e perimetro infinito prive di dimensione intera. Questo studio, avviato da Gaston Julia (insieme di Julia) e Helge von Koch (curva di Koch) e incagliatosi per le difficoltà di calcolo fu ripreso da Benoît Mandelbrot (1924-2010) negli anni ottanta. Si deve a Mandelbrot la definizione degli oggetti frattali, fra questi il famoso insieme di Mandelbrot, oltre alle applicazioni in vari campi, fra cui l'economia.

Ada Lovelace (1815-1852), collaborando con Charles Babbage, scrisse un algoritmo inteso per essere elaborato da una macchina, intuendo che i computer avrebbero potuto elaborare non solo numeri, ma simboli e contenuti multimediali. Nel 1928 David Hilbert pose l'Entscheidungsproblem (problema della decisione), chiedendo se esistesse un algoritmo in grado di determinare la verità o falsità di qualsiasi enunciato matematico. La già citata formalizzazione da parte di Gödel dei teoremi di incompletezza, spingerà Alan Turing a costruire la "Macchina di Turing", volta a dimostrare che il problema della decisione non fosse risolvibile (a lui vanno attribuiti anche il test che porta il suo nome e contributi in crittografia, quando decifrò i messaggi nazisti). Church arrivò agli stessi risultati e insieme ad Alan Turing formulò la tesi di Church-Turing, affermando che qualsiasi cosa "calcolabile" da un umano o da una macchina possa essere calcolata da una Macchina di Turing. Claude Shannon, nella sua tesi di master del 1937, dimostrò che l'algebra booleana (sviluppata da George Boole nell'800) poteva essere utilizzata per ottimizzare e progettare circuiti a relè, costruendo un ponte fondamentale tra la logica matematica e l'hardware fisico. A lui si deve la nascita della teoria dell'informazione. Norbert Wiener studiò i meccanismi di controllo e comunicazione negli animali e nelle macchine (feedback). Il suo lavoro matematico è stato cruciale per lo sviluppo dell'automazione, della robotica e ha influenzato pesantemente l'intelligenza artificiale ai suoi albori. Infine, a Grace Hopper si deve l'invenzione del primo compilatore, capace di trasformare il codice sorgente (leggibile dall'uomo) in linguaggio macchina. John von Neumann (1903-1957), figura dominante nella matematica novecentesca, introdusse invece l'importante concetto di architettura di von Neumann e studiò la possibilità di una macchina autoreplicante.

A Von Neumann, e in buona parte anche a Morgenstern, si deve l'avvento della teoria dei giochi, sviluppatasi parallelamente alla capacità di calcolo. La teoria dei giochi studia e costruisce modelli matematici per analizzare situazioni in cui più soggetti interagiscono strategicamente, con l’obiettivo di valutare e confrontare le diverse strategie che possono essere adottate. Tra i più importanti lavori di von Neumann in questo campo c'è la dimostrazione del teorema del minimax. A John Nash (1928-2015) si deve invece l'introduzione dell'equilibrio di Nash, con ampie applicazioni in economia. Nel secondo dopoguerra vi è stato uno straordinario sviluppo dei metodi matematico-formali in economia, basati per l'appunto sulla teoria dei giochi; fra i risultati più significativi, figura il teorema di esistenza dell'equilibrio economico generale, dimostrato da Kenneth Arrow e Gérard Debreu.

Altri importanti contributi all'assiomizzazione includeranno il calcolo delle probabilità (grazie a Nikolaevich Kolmogorov) e la meccanica quantistica (da Von Neumann stesso). Nel ventesimo secolo si iniziò ad analizzare matematicamente la struttura del linguaggio. Axel Thue definì in termini matematici il concetto di grammatica. Noam Chomsky classificò i linguaggi in base al tipo di produzioni grammaticali da loro ammesse.

Edward Norton Lorenz, studiando metodi per la previsione del tempo atmosferico, scoprì il cosiddetto attrattore di Lorenz, dando inizio alla teoria del caos. Questa aprirà le porte allo studio dei sistemi caotici, in cui piccole variazioni delle condizioni iniziali portano a variazioni consistenti nel tempo, con importanti applicazioni nella meteorologia.

Il dibattito sui fondamenti della matematica vide in questo secolo contrapporsi diverse scuole di pensiero: i realisti (come Kurt Gödel), sostenevano l'esistenza intrinseca delle entità matematiche e la natura assoluta delle loro verità, dall'altro i formalisti (come David Hilbert), pensavano alla matematica come un gioco formale dove la validità degli enunciati è limitata dagli assiomi e dalle regole deduttive del sistema scelto. A queste visioni si affiancarono le correnti costruttivista e intuizionista (sviluppata da Luitzen Brouwer) che, collocando l'origine della matematica nell'intuizione mentale dell'individuo, rigettavano concetti classici come l'infinito attuale e il principio del terzo escluso.