Oscillatore armonico quantistico

Un modo per calcolare i polinomi H_n è quello di fissare i coefficienti ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle A_{n+1}}$ ai valori:

${\displaystyle A_{n}=2^{n},\qquad A_{m>n}=0.}$

e di utilizzare la relazione di ricorrenza:

${\displaystyle A_{m}={\frac {(m+2)(m+1)}{2m+1-\varepsilon }}A_{m+2}={\frac {(m+2)(m+1)}{2\left(m-n\right)}}A_{m+2},\qquad m<n}$

per calcolare gli altri coefficienti A_m<n.

Così, ad esempio, per ${\displaystyle n=0}$, troviamo:

${\displaystyle A_{n>0}=0,\quad A_{0}=2^{0}=1\Rightarrow H_{0}\left(\xi \right)=1{\text{;}}}$

per ${\displaystyle n=1}$, dobbiamo porre:

${\displaystyle A_{n>1}=0,\quad A_{1}=2^{1}=2\Rightarrow A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-1\right)}}A_{2}=0\Rightarrow H_{1}\left(\xi \right)=2\xi {\text{;}}}$

per ${\displaystyle n=2}$, otteniamo:

${\displaystyle A_{n>2}=0,\quad A_{2}=2^{2}=4\Rightarrow A_{1}={\frac {(1+2)(1+1)}{2\left(1-2\right)}}A_{3}=0,\quad A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-2\right)}}A_{2}=-2{\text{,}}}$

da cui segue

${\displaystyle H_{2}\left(\xi \right)=4\xi ^{2}-2{\text{.}}}$

Infine, per ${\displaystyle n=3}$, i coefficienti

${\displaystyle A_{n>3}=0,\quad A_{3}=2^{3}=8}$

generano, mediante la relazione di ricorrenza

${\displaystyle A_{2}={\frac {(2+2)(2+1)}{2\left(2-3\right)}}A_{4}=0,\quad A_{1}={\frac {(1+2)(1+1)}{2\left(1-3\right)}}A_{3}=-12,\quad A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-3\right)}}A_{2}=0{\text{.}}}$

Pertanto,

${\displaystyle H_{3}\left(\xi \right)=8\xi ^{3}-12\xi {\text{.}}}$

In maniera simile, possiamo ricavare gli altri polinomi di Hermite.

Sebbene normalizzabili, le funzioni ${\displaystyle \phi _{n}}$ non sono a norma unitaria, mentre gli stati in meccanica quantistica vengono scelti a norma unitaria. Quello che si fa è di inserire una costante moltiplicativa ${\displaystyle c_{n}}$, in generale dipendente dal livello, per assicurare la norma unitaria.

In particolare le funzioni dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati valgono:

${\displaystyle \phi _{0}(x)=c_{0}\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}},\qquad c_{0}=\left({\frac {m\omega }{\hbar \,\pi }}\right)^{1/4}}$

${\displaystyle \phi _{1}(x)=c_{0}{\sqrt {2}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,e^{-{\frac {m\,x^{2}\omega }{2\hbar }}}}$

${\displaystyle \phi _{2}(x)={\frac {c_{0}}{\sqrt {2}}}\,\left({\frac {2mx^{2}\omega }{\hbar }}-1\right)\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}}$

${\displaystyle \phi _{3}(x)={\frac {c_{0}}{\sqrt {3}}}\,\left(2\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{3/2}x^{3}-3{\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}}$

In generale, si ha

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\hbar \,\pi }}\right)^{1/4}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}}$

I valori medi e gli scarti quadratici medi della posizione e della quantità di moto, sugli autostati dell'Hamiltoniano, si ottengono con semplici integrali gaussiani

${\displaystyle \langle x\rangle _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x\,\left\vert \phi _{n}(x)\right\vert ^{2}=0}$

${\displaystyle \Delta x_{n}^{2}=\langle x^{2}\rangle _{n}-\langle x\rangle _{n}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x^{2}\,\left\vert \phi _{n}(x)\right\vert ^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{n}=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\phi _{n}(x)\,\phi _{n}^{\prime }(x)=0,}$

${\displaystyle \Delta p_{n}^{2}=\langle p^{2}\rangle _{n}-\langle p\rangle _{n}^{2}=-\hbar ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\phi _{n}(x)\,\phi _{n}^{\prime \prime }(x)=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

In accordo col principio d'indeterminazione, troviamo

${\displaystyle \Delta x_{n}\,\Delta p_{n}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

e la minima indeterminazione si ha per n=0.

I valori propri (ossia gli autovalori) dell'operatore ${\displaystyle N}$ sono positivi o nulli.

L'equazione precedente si può scrivere, esplicitando ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle a^{\dagger }a|\nu \rangle =\nu |\nu \rangle }$

Proiettando sullo stato ${\displaystyle |\nu \rangle }$ si ha:

${\displaystyle \langle \nu |a^{\dagger }a|\nu \rangle =\nu \langle \nu |\nu \rangle =\nu }$

in quanto gli stati di un sistema hanno norma unitaria per definizione.

Ma si ha anche:

${\displaystyle \langle \nu |a^{\dagger }a|\nu \rangle =(a|\nu \rangle )^{+}(a|\nu \rangle )=|(a|\nu \rangle )|^{2}}$

Quindi:

${\displaystyle \nu =|(a|\nu \rangle )|^{2}}$

Quindi, per definizione della norma di un vettore si ha che ${\displaystyle \nu }$≥0.
CVD.

Se ${\displaystyle |\nu \rangle }$ è un autostato di ${\displaystyle N}$ di autovalore ${\displaystyle \nu }$, allora ${\displaystyle a|\nu \rangle }$ è un autostato di ${\displaystyle N}$ di autovalore ${\displaystyle \nu -1}$.

Si ha:

${\displaystyle Na|\nu \rangle =(a^{\dagger }a)a|\nu \rangle }$

Ma, usando la relazione di commutazione di ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle a^{\dagger }}$ si ottiene che:

${\displaystyle a^{\dagger }a=aa^{\dagger }-1}$

Per cui, sostituendo:

${\displaystyle Na|\nu \rangle =(aa^{\dagger }-1)a|\nu \rangle =a(a^{\dagger }a-1)|\nu \rangle =a(N-1)|\nu \rangle =(\nu -1)a|\nu \rangle }$

CVD.

Se ${\displaystyle |\nu \rangle }$ è autostato di ${\displaystyle N}$ con autovalore ${\displaystyle \nu }$, allora ${\displaystyle a^{\dagger }|\nu \rangle }$ è autostato di ${\displaystyle N}$ con autovalore ${\displaystyle \nu +1}$.

Si ha:

${\displaystyle Na^{\dagger }|\nu \rangle =(a^{\dagger }a)a^{\dagger }|\nu \rangle =a^{\dagger }(aa^{\dagger })|\nu \rangle =a^{\dagger }(1+a^{\dagger }a)|\nu \rangle =a^{\dagger }(1+N)|\nu \rangle =(1+\nu )a^{\dagger }|\nu \rangle }$

CVD.

Con l'aiuto di questi teoremi possiamo trovare gli autovalori di ${\displaystyle N}$. Supponiamo che l'autovalore ${\displaystyle \nu }$ sia positivo, non nullo e non intero e sia n la parte intera di ${\displaystyle \nu }$.

Lo stato ${\displaystyle a|\nu \rangle }$ è un autostato con autovalore ${\displaystyle \nu -1}$, lo stato ${\displaystyle a^{2}|\nu \rangle }$ è un autostato con autovalore ${\displaystyle \nu -2}$,..., lo stato ${\displaystyle a^{n}|\nu \rangle }$ è un autostato con autovalore ${\displaystyle \nu -n}$, numero che è compreso tra 0 ed 1.

Applicando un'altra volta l'operatore ${\displaystyle a}$ si ottiene lo stato ${\displaystyle a^{n+1}|\nu \rangle }$, di autovalore ${\displaystyle \nu -n-1}$, numero che è negativo. Questo va contro il teorema 1, secondo il quale gli autovalori di ${\displaystyle N}$ sono positivi o nulli, quindi il numero ${\displaystyle \nu }$ deve essere intero (positivo o nullo, per il teorema 1), in modo tale che il vettore ${\displaystyle a^{n}|\nu \rangle }$ sia il vettore nullo e che il vettore ${\displaystyle a^{n+1}|\nu \rangle }$ non esista.

Poiché a partire da un autostato ${\displaystyle |m\rangle }$ qualsiasi si può ottenere un qualsiasi altro autostato, tramite opportuna applicazione degli operatori ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle a^{\dagger }}$, segue che gli autovalori di ${\displaystyle N}$ sono tutti i numeri naturali.

Ma gli autovalori di ${\displaystyle N}$ sono anche quelli di H, per cui le energie degli autostati dell'oscillatore armonico sono quantizzate e valgono:

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{1 \over 2}\right)\hslash \omega }$

e gli autostati dell'energia sono gli autostati ${\displaystyle |\nu \rangle }$ dell'operatore numero.

Abbiamo così trovato gli stati di equilibrio dell'oscillatore armonico quantistico: essi sono stati stazionari, cioè non evolvono nel tempo, così come gli stati di equilibrio di qualsiasi altro sistema dinamico quantistico.

Vediamo adesso come agiscono gli operatori di creazione e di distruzione ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle a^{\dagger }}$.

Dal teorema 2 sappiamo che lo stato ${\displaystyle a|n\rangle }$ è un autostato di ${\displaystyle N}$ con autovalore ${\displaystyle n-1}$, e supponendo che i livelli di energia dell'oscillatore unidimensionale non siano degeneri,^[4] si ha che:

${\displaystyle a|n\rangle =k|n-1\rangle }$

La norma di questo vettore vale n,^[5] quindi:

${\displaystyle k={\sqrt {n}}}$

e:

${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

In modo assolutamente identico si può mostrare che:

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac: l'operatore ${\displaystyle a}$ fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore ${\displaystyle a^{\dagger }}$ fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia.

Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati di ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle }$

Utili relazioni, spesso utilizzate nei problemi, tra gli operatori posizione e impulso con a⁺ e a si ottengono esprimendo i primi in funzione dei secondi:

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {\hslash }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)}$

${\displaystyle p=i{\sqrt {\frac {m\omega \hslash }{2}}}(a^{\dagger }-a)}$

con analoghe relazioni per x² e p². Queste espressioni degli operatori vengono usate spesso in quanto agiscono in modo semplice sugli autoket dell'energia e permettono di evitare complicati prodotti scalari utilizzando le funzioni d'onda nella base della posizione o dell'impulso.