Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (albo: W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ na pewnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$, która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$, a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya^{[1][2][3][4][5]} (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej^[6].

Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera^[7]; jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému^[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę ${\displaystyle A}$, która maja wierną (różnowartościową) reprezentację ${\displaystyle (\pi ,H)}$ na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ o tej własności, iż obraz ${\displaystyle \pi (A)\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$ jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym powyżej sensie).

• Każda algebra von Neumanna ma jedynkę (tzn. element neutralny mnożenia).
• Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
• Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
• Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$, symbol ${\displaystyle A'}$, oznacza tradycyjnie tzw. komutant zbioru ${\displaystyle A}$, tj. następujący zbiór: ${\displaystyle \{x\in {\mathcal {B}}(H)\,\,\colon \,(\forall a\in A)(xa=ax)\}}$. Analogicznie, ${\displaystyle A''}$ oznacza drugi komutant zbioru ${\displaystyle A}$, tj. komutant dla komutanta ${\displaystyle A'}$.

Niech ${\displaystyle M}$ będzie pod-*-algebrą ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$, zawierającą operator identyczności ${\displaystyle I}$. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle M=M''}$
2. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. inaczej: ${\displaystyle M}$ jest algebrą von Neumanna);
3. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
4. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w tzw. topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności ${\displaystyle \mathbf {N} (H){\text{*}}={\mathcal {B}}(H)}$, gdzie ${\displaystyle \mathbf {N} (H)}$ oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na ${\displaystyle H}$.

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

• Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów ozn. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ na dowolnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$, są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
• Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą ${\displaystyle \sigma }$-skończoną) na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle X}$. Wówczas przestrzeń H = L₂(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$, tj. każdej funkcji ${\displaystyle f\in L_{\infty }(\mu )}$ odpowiada operator (ograniczony) ${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {B}}{\big (}L_{2}(\mu ){\big )}}$ dany wzorem: ${\displaystyle T_{f}g=f\cdot g}$. Rodzina wszystkich operatorów mnożenia ozn. ${\displaystyle T_{f}}$, jest przemienną podalgebrą ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big (}L_{2}(\mu ){\big )}}$, która jest algebrą von Neumanna (w ten też sposób, utożsamia się algebrę ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$ z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$, dla pewnej miary lokalizowalnej ${\displaystyle \mu }$.
• Dla dowolnej C*-algebry ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$, jej drugi komutant oznaczany symbolem ${\displaystyle A''}$, jest algebrą von Neumanna.
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest (być może: abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona ${\displaystyle A^{**}}$ (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra ${\displaystyle A^{**}}$ jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla ${\displaystyle A}$, w następującym sensie: Niech ${\displaystyle (\pi ,H)}$ będzie reprezentacją ${\displaystyle A}$ na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$, oraz niech ${\displaystyle M(\pi )}$ oznacza algebrę von Neumanna ${\displaystyle \pi (A)''}$. Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe ${\displaystyle \Pi \,\,\colon A^{**}\to M(\pi )}$, o następujących własnościach: ${\displaystyle \pi =\Pi _{\kappa }}$ gdzie ${\displaystyle \kappa \,\,\colon A\to A^{**}}$ jest kanonicznym zanurzeniem ${\displaystyle A}$ w ${\displaystyle A^{**}}$; ${\displaystyle \Pi }$ jest ${\displaystyle \sigma (A^{**},A^{*})}$ / ${\displaystyle \sigma }$-weak ciągłe; ${\displaystyle \Pi (B_{A^{**}})=B_{M(\pi )}}$. W szczególności, jeżeli ${\displaystyle (\pi ,H)}$ jest uniwersalną reprezentacją algebry ${\displaystyle A}$ (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na ${\displaystyle A}$), to ${\displaystyle A^{**}}$ jest *-izomorficzna z ${\displaystyle \pi (A)''}$.
• Hiperskończony faktor typu II₁, oznaczany tradycyjnie przez: ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

• Typ I: ${\displaystyle M}$ jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci

${\displaystyle \textstyle \prod _{j\in J}A_{j}\,{\overline {\otimes }}\,{\mathcal {B}}(H_{j})}$

gdzie dla każdego ${\displaystyle j}$ algebra ${\displaystyle A_{j}}$ jest przemienną algebrą von Neumanna oraz ${\displaystyle H_{j}}$ jest pewną przestrzenią Hilberta ${\displaystyle (j\in J).}$

• Typ II₁ : ${\displaystyle M}$ jest typu II₁, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego ${\displaystyle 0<x\in M}$ istnieje taki normalny śladowy stan ${\displaystyle \phi \in M{\text{*}}}$, że ${\displaystyle \phi (x)>0}$.
• Typ ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty }}$: ${\displaystyle M}$ jest typu ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty }}$, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II₁ oraz istnieje rosnąca sieć rzutów ${\displaystyle (p_{i})\subset M,}$ zbieżna do ${\displaystyle 1_{M}}$ w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego ${\displaystyle i}$ algebra ${\displaystyle p_{i}Mp_{i}}$ jest typu II₁.
• Typ III: ${\displaystyle M}$ jest typu III, gdy nie jest typu I, II₁ ani typ ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty }}$.

Każda algebra von Neumanna ${\displaystyle M}$ rozkłada się na sumę

${\displaystyle M=M_{\mathrm {I} }\oplus M_{\mathrm {II} _{1}}\oplus M_{\mathrm {II} _{\infty }}\oplus M_{\mathrm {III} }}$

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

• Von Neumann algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].