Elipsoida Johna

Elipsoida Johna lub Löwnera-Johna – pojęcie z zakresu geometrii wypukłej i teorii przestrzeni Banacha wprowadzone przez Fritza Johna w 1948 roku^[1].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech ${\displaystyle B_{X}}$ oznacza kulę jednostkową w przestrzeni ${\displaystyle X}$. Elipsoidą Johna przestrzeni ${\displaystyle X}$ nazywa się kulę względem metryki zadanej przez pewien iloczyn skalarny w ${\displaystyle X}$ (hiperkula) zawartą w ${\displaystyle B_{X}}$ o największej ${\displaystyle n}$-wymiarowej objętości.

Istnienie elipsoidy Johna wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Jest ona ponadto wyznaczona jednoznacznie^[2].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią unormowaną. Niech ${\displaystyle \rho _{E}}$ oznacza normę euklidesową wprowadzoną przez elipsoidę Johna w ${\displaystyle X}$ (tj. funkcjonał Minkowskiego elipsoidy Johna przestrzeni ${\displaystyle X}$). Istnieje wówczas taka baza ortonormalna ${\displaystyle (e_{j})_{j\leqslant n}}$ w ${\displaystyle (X,\rho _{E})}$, że

${\displaystyle \|e_{j}\|_{X}\geqslant 2^{-{\frac {n}{n-j+1}}}\quad (j\leqslant n).}$

W szczególności,

${\displaystyle \|e_{j}\|_{X}\geqslant {\frac {1}{4}}}$

dla ${\displaystyle j\leqslant {\frac {n}{2+1}}}$^[3].

• F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.