Prawa rachunku zdań

Ten artykuł to spis niektórych praw klasycznego rachunku zdań – tautologii tej teorii. Prawa te to podstawa szerszej klasy reguł, znanej jako prawa logiczne^[1]^[2]. Poniższa lista ma ponad czterdzieści (40) elementów i jest podzielona według liczby różnych zmiennych zdaniowych używanych w danym prawie.

Jedna zmienna zdaniowa


nazwa prawa		wzór (formuła)	liczba różnych spójników	łączna liczba spójników^[a]
tożsamości^[1]^[2] (każde zdanie implikuje siebie)		$p\Rightarrow p$	1	1
idempotentności^[4]	koniunkcji	$p\Leftrightarrow (p\land p)$	2	2
idempotentności^[4]	alternatywy	$p\Leftrightarrow (p\lor p)$	2	2
podwójnego przeczenia^[1]^[2]^[5] (dowolne zdanie równoważne jest podwójnej negacji tego zdania)		$p\Leftrightarrow \lnot \lnot p$	2	3
wyłączonego środka^[1]^[2], łac. tertium non datur^[6] – trzeciej możliwości nie ma (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe)		$p\lor \lnot p$	2	2
niesprzeczności^[1]^[2] (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie)		$\lnot (p\land \lnot p)$	2	3
Claviusa^[7]^[8]^[5]	(jeśli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe)	$(\lnot p\Rightarrow p)\Rightarrow p$	2	3
Claviusa^[7]^[8]^[5]		$(p\Rightarrow \lnot p)\Rightarrow \lnot p$	2	4

Dwie różne zmienne zdaniowe

nazwa prawa		wzór (formuła)	liczba różnych spójników	łączna liczba spójników
przemienności^[9]	koniunkcji	$(p\land q)\Leftrightarrow (q\land p)$	2	3
przemienności^[9]	alternatywy	$(p\lor q)\Leftrightarrow (q\lor p)$	2	3
dołączania alternatywy^[5]		$p\Rightarrow (p\lor q)$	2	2
opuszczania koniunkcji^[5]		$(p\land q)\Rightarrow p$	2	2
pochłaniania^[1]		$[p\land (p\lor q)]\Leftrightarrow p$	3	3
pochłaniania^[1]		$[p\lor (p\land q)]\Leftrightarrow p$	3	3
symplifikacji^[1]^[2]^[4], inaczej aksjomat K^[3] (jeśli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego)		$p\Rightarrow (q\Rightarrow p)$	1	2
odrywania, łac. modus ponendo ponens^[2]^[10] (sposób potwierdzający potwierdzeniem) (jeśli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie też należy uznać za prawdziwe)		$[(p\Rightarrow q)\land p]\Rightarrow q$	2	3
De Morgana^[1]^[2]	pierwsze – zaprzeczenia koniunkcji	$\lnot (p\land q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor \lnot q)$	4	6
De Morgana^[1]^[2]	drugie – zaprzeczenia alternatywy	$\lnot (p\lor q)\Leftrightarrow (\lnot p\land \lnot q)$	4	6
Dunsa Szkota^[1]^[2]^[5]^[11] (z fałszu wynika każde inne zdanie)		$p\Rightarrow (\lnot p\Rightarrow q)$	2	3
		$(p\land \lnot p)\Rightarrow q$	3	3
kontrapozycji, inaczej transpozycji^[2]^[12]	jeśli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)$	2	5
	jeśli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze	$(\lnot p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow p)$	2	5
	jeśli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego	$(p\Rightarrow \lnot q)\Rightarrow (q\Rightarrow \lnot p)$	2	5
łac. modus tollendo tollens^[2]^[10] (sposób przeczący przeczeniem)		$[(p\Rightarrow q)\land \lnot q]\Rightarrow \lnot p$	3	5
sylogizmu alternatywnego^[2], łac. modus tollendo ponens (sposób potwierdzający przeczeniem)		$[(p\lor q)\land \lnot p]\Rightarrow q$	4	4
łac. modus ponendo tollens^[2] (sposób przeczący potwierdzeniem)		$[(\lnot p\lor \lnot q)\land p]\Rightarrow \lnot q$	4	6
eliminacji implikacji^[3]^[4]		$(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor q)$	4	4
zaprzeczenia implikacji^[2]^[12]		$\lnot (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (p\land \lnot q)$	4	5
redukcji do absurdu^[2]^[5] (łac. reductio ad absurdum)		$[(p\Rightarrow q)\land (p\Rightarrow \lnot q)]\Rightarrow \lnot p$	3	4
dylematu konstrukcyjnego prostego – jeden z przypadków szczególnych^[10]		$[(p\Rightarrow q)\land (\neg p\Rightarrow q)]\Rightarrow q$	3	5

Trzy różne zmienne zdaniowe


nazwa prawa		wzór (formuła)	liczba różnych spójników	łączna liczba spójników
łączności^[12]	koniunkcji	$[(p\land q)\land r]\Leftrightarrow [p\land (q\land r)]$	2	5
łączności^[12]	alternatywy	$[(p\lor q)\lor r]\Leftrightarrow [p\lor (q\lor r)]$	2	5
rozdzielności^[1]^[12]	koniunkcji względem alternatywy	$[p\land (q\lor r)]\Leftrightarrow [(p\land q)\lor (p\land r)]$	3	6
	alternatywy względem koniunkcji	$[p\lor (q\land r)]\Leftrightarrow [(p\lor q)\land (p\lor r)]$	3	6
	implikacji względem siebie – prawo Fregego^[7]	$[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [(p\Rightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow r)]$	1	6
sylogizmu warunkowego, inaczej hipotetycznego^[2]^[13]	przechodności implikacji^[12] (jeśli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)	$[(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow r)$	2	5
		$(p\Rightarrow q)\Rightarrow [(q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)]$	1	5
		$(p\Rightarrow q)\Rightarrow [(r\Rightarrow p)\Rightarrow (r\Rightarrow q)]$	1	5
eksportacji^[1]^[11]		$[(p\land q)\Rightarrow r]\Rightarrow [p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]$	2	5
importacji^[1]^[11]		$[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [(p\land q)\Rightarrow r]$	2	5
komutacji^[1]^[11]		$[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\Rightarrow [q\Rightarrow (p\Rightarrow r)]$	1	5
łączenia poprzedników^[11]		$[(p\Rightarrow r)\land (q\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\lor q\Rightarrow r)$	3	6
łączenia następników^[11]		$[(p\Rightarrow q)\land (p\Rightarrow r)]\Rightarrow (p\Rightarrow q\land r)$	3	6
dylematu konstrukcyjnego prostego^[1] – postać ogólna^[14]		$[(p\Rightarrow r)\land (q\Rightarrow r)\land (p\lor q)]\Rightarrow r$	3	6

Zobacz też

Uwagi

↑ licząc powtórzenia; taka wielkość bywa nazywana rozmiarem formuły^[3]

Przypisy

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 prawa logiczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-26] .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 rachunek zdań, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-11-28] .
1 2 3 Marek Zaionc, Jakub Kozik, Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 2: Rachunek zdań. Język logiki zdaniowej, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-09-26].
1 2 3 Smoluk 2017 ↓, s. 16.
1 2 3 4 5 6 Smoluk 2017 ↓, s. 15.
↑ wyłączonego środka prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-26] .
1 2 Jerzy Tiuryn, Jerzy Tyszkiewicz i Paweł Urzyczyn, Logika dla informatyków (PDF), Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl, październik 2006 [dostęp 2025-09-26] – s. 4.
↑ Grzegorczyk 1969 ↓, s. 84.
↑ Anna Rybak, Wprowadzenie do logiki matematycznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-09-26].
1 2 3 Smoluk 2017 ↓, s. 17.
1 2 3 4 5 6 Grzegorczyk 1969 ↓, s. 85.
1 2 3 4 5 Elementy logiki. Prawa rachunku zdań. Podstawowe tautologie, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-09-25].
↑ Smoluk 2017 ↓, s. 16–17.
↑ Smoluk 2017 ↓, s. 22.

Bibliografia

Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.

[4] ząc powtórzenia; taka wielkość bywa nazywana rozmiarem formuły^[3]

[epwn-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 prawa logiczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-26] .

[epwn2-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 rachunek zdań, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-11-28] .

[mimuw-3] 1 2 3 Marek Zaionc, Jakub Kozik, Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 2: Rachunek zdań. Język logiki zdaniowej, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-09-26].

[CITEREFSmoluk201716-5] 1 2 3 Smoluk 2017 ↓, s. 16.

[CITEREFSmoluk201715-6] 1 2 3 4 5 6 Smoluk 2017 ↓, s. 15.

[7] wyłączonego środka prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-26] .

[ttu-8] 1 2 Jerzy Tiuryn, Jerzy Tyszkiewicz i Paweł Urzyczyn, Logika dla informatyków (PDF), Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl, październik 2006 [dostęp 2025-09-26] – s. 4.

[CITEREFGrzegorczyk196984-9] Grzegorczyk 1969 ↓, s. 84.

[zpe-10] Anna Rybak, Wprowadzenie do logiki matematycznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-09-26].

[CITEREFSmoluk201717-11] 1 2 3 Smoluk 2017 ↓, s. 17.

[CITEREFGrzegorczyk196985-12] 1 2 3 4 5 6 Grzegorczyk 1969 ↓, s. 85.

[zut-13] 1 2 3 4 5 Elementy logiki. Prawa rachunku zdań. Podstawowe tautologie, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-09-25].

[CITEREFSmoluk201716–17-14] Smoluk 2017 ↓, s. 16–17.

[CITEREFSmoluk201722-15] Smoluk 2017 ↓, s. 22.

[1]

[2]

[a]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[3]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]