Ranga (statystyka)

Ranga – numer kolejny obserwacji statystycznej w próbie po uporządkowaniu obserwacji według wartości jednej ze zmiennych. Zwykle stosuje się uporządkowanie rosnące i numerowanie od 1^[1].

Zastąpienie zmiennej przez wyliczone według niej rangi jest operacją zwaną rangowaniem. Rangowanie jest zwykle stosowane w celu uniezależnienia się od rozkładu zmiennej oraz możliwych wystąpień obserwacji odstających. Pozwala ono również na stosowanie metod statystycznych w odniesieniu do zmiennych porządkowych^[2], a nie tylko przedziałowych i ilorazowych. Rangowanie jest też pierwszym krokiem wielu metod statystyki nieparametrycznej, tzw. metod rangowych, takich jak np. korelacja rangowa.

Rangowanie można zastosować do wielu zmiennych w próbie, porządkując każdą zmienną z osobna, nadając odpowiednie rangi, a następnie wracając do pierwotnego ustawienia obserwacji.

W przypadku występowania obserwacji o równej wartości rangowanej zmiennej (tzw. rangi wiązane, ang. tied ranks), zwykle wszystkim tym obserwacjom przypisuje się identyczną rangę, równą średniej z ich numerów kolejnych (ang. mid-ranks)^[3]. Stąd rangi mogą mieć wartości niecałkowite.

Pakiety statystyczne posiadają też możliwość traktowania rang wiązanych w inny sposób, np.

• przez przypisanie im największego lub najmniejszego numeru kolejnego z danej serii (co jednak zmienia średnią wyniku),
• przez przypisanie numerów kolejnych bez zważania na rangi wiązane (wówczas wyniki rangowania zależą nie tylko od wartości rangowanej zmiennej, ale i od kolejności obserwacji w tabeli)^[4].

W pięcioelementowej próbie^[a] znajdują się następujące obserwacje zmiennej ${\displaystyle x{:}}$

${\displaystyle x_{1}=0{,}96;\ x_{2}=2{,}43;\ x_{3}=0{,}96;\ x_{4}=0{,}2;\ x_{5}=3{,}5.}$

Po posortowaniu według wartości x, uzyskujemy kolejność:

${\displaystyle x_{4}=0{,}2;\ x_{1}=0{,}96;\ x_{3}=0{,}96;\ x_{2}=2{,}43;\ x_{5}=3{,}5.}$

Jak widać obserwacje ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{3}}$ mają tę samą wartość zmiennej ${\displaystyle x.}$ Rangi zmiennej ${\displaystyle x{:}}$

${\displaystyle r_{4}=1;\ r_{1}=2{,}5;\ r_{3}=2{,}5;\ r_{2}=4;\ r_{5}=5.}$

Po przywróceniu pierwotnej kolejności obserwacji w zbiorze:

${\displaystyle r_{1}=2{,}5;\ r_{2}=4;\ r_{3}=2{,}5;\ r_{4}=1;\ r_{5}=5.}$

(1) Średnia rang. Jeżeli obserwacjom w próbie o liczności n przypisano rangi od 1 do n, to tworzą one dyskretny rozkład jednostajny^[5]. Wartość oczekiwana (średnia) takiego zbioru rang wynosi^[5]:

${\displaystyle {\overline {r}}={\frac {n+1}{2}}.}$

Wartość ta pozostaje niezmienna również w sytuacji wystąpienia rang wiązanych, o ile stosuje się metodę rang średnich (ang. mid-ranks), ponieważ suma rang w próbie jest stała^[6].

(2) Wariancja. Dla zbioru n unikalnych rang wariancja z próby (${\displaystyle s^{2}}$, obliczana z mianownikiem ${\displaystyle n-1}$) wyraża się wzorem:

${\displaystyle \operatorname {var} (\operatorname {r} )={\frac {n(n+1)}{12}}}$

Wariancja ta zależy wyłącznie od liczności próby ${\displaystyle n}$^[1][5].

W przypadku występowania grup obserwacji o tej samej wartości (wiązania), wariancja rang ulega zmniejszeniu.

Niech

${\displaystyle T'={\frac {1}{12}}\sum _{j}(t_{j}^{3}-t_{j}),}$

gdzie:

• ${\displaystyle t_{j}}$ – liczba obserwacji w próbie posiadających tę samą ${\displaystyle j}$-tą wartość rangi zmiennej ${\displaystyle X,}$
• indeks sumowania ${\displaystyle j}$ przebiega po wszystkich wartościach rang, przy czym wystarczy zsumować rangi wiązane, bo dla pozostałych ${\displaystyle t_{j}^{3}-t_{j}=1^{3}-1=0.}$

Wtedy wariancja rang wyraża się wzorem^[7]:

${\displaystyle \operatorname {var} (\operatorname {r} )={\frac {n(n+1)}{12}}-{\frac {T'}{n-1}}}$

(3) Rozkład. Gdy nie ma rang wiązanych, ${\displaystyle T'}$ jest równe zeru i wariancja rang zależna jest wyłącznie od liczności próby, a rangi mają rozkład jednostajny dyskretny. Ta właściwość jest podstawą wielu typowych metod rangowych, takich jak rho Spearmana^[8]. Sprawia ona także, iż metody rangowe są odporne na obserwacje odstające^[9][10].

Opisane powyżej rangi zwane są regularnymi. Stosowane są też rangi ułamkowe – powstałe przez podzielenie rang regularnych przez liczbę obserwacji danej zmiennej (z wyłączeniem brakujących danych), oraz rangi procentowe, czyli rangi ułamkowe wyrażone w procentach^[11].

Stosowanie rang ułamkowych i procentowych ma sens w przypadku zbiorów z brakami danych. Wówczas rangi ułamkowe i procentowe zapewniają lepszą od rang regularnych porównywalność zmiennych o różnym udziale brakujących danych.

Rangi ułamkowe przy braku rang wiązanych są równe dystrybuancie empirycznej^[12]. W nieskończonej populacji nie ma rang wiązanych, co sprawia, że wiele metod rangowych ma swoje odpowiedniki wyrażone za pomocą dystrybuant (np. rho Spearmana).

Jak napisano wcześniej, zmienne porangowane (przy braku rang wiązanych) mają rozkład jednostajny dyskretny. Z drugiej strony wiele klasycznych metod statystycznych dostosowanych jest do rozkładu normalnego. Stąd niekiedy stosuje się dodatkowe przekształcenie rang, które zapewnia wymagany rozkład.

Dla rozkładu normalnego stosowane są przekształcenia^[13][14]:

• Bloma^[15] (najdokładniejsze z wymienionych):

${\displaystyle y_{i}=\Phi ^{-1}\left({\frac {r_{i}-{\tfrac {3}{8}}}{n+{\tfrac {1}{4}}}}\right),}$

• Tukeya^[16]:

${\displaystyle y_{i}=\Phi ^{-1}\left({\frac {r_{i}-{\tfrac {1}{3}}}{n+{\tfrac {1}{3}}}}\right)}$

• van der Waerdena (używane do nieparametrycznych testów położenia^[17][18]):

${\displaystyle y_{i}=\Phi ^{-1}\left({\frac {r_{i}}{n+1}}\right),}$

gdzie:

• ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ – odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego,

• ${\displaystyle r_{i}}$ – ranga ${\displaystyle i}$-tej obserwacji,
• ${\displaystyle n}$ – liczba niepustych obserwacji w danej zmiennej.

W przypadku istnienia w zbiorze rang wiązanych, należy powyższe wzory zastosować najpierw i dopiero potem uśrednić ich wyniki.

Przekształcenia te są stosowane głównie w testach położenia (ANOVA, testy równości wartości oczekiwanych itp.).

Aby otrzymać rozkład wykładniczy stosuje się wzór Savage’a^[19]:

${\displaystyle y_{i}=\sum \limits _{j=1}^{r_{i}}{\frac {1}{n-j+1}}-1.}$

Jest on stosowany do testów równości parametru skali w rozkładzie wykładniczym oraz testów równości parametru położenia w rozkładzie wartości ekstremalnych^[20].

Dla testów skali stosowane są też inne przekształcenia rang:

• Klotza^[19]:

${\displaystyle y_{i}=\left(\Phi ^{-1}\left({\frac {r_{i}}{n+1}}\right)\right)^{2}}$

• Siegela-Tukeya, obliczane według schematu^[19]:

${\displaystyle y_{i}=1}$ dla ${\displaystyle r_{i}=1}$

${\displaystyle y_{i}=2}$ dla ${\displaystyle r_{i}=n}$

${\displaystyle y_{i}=3}$ dla ${\displaystyle r_{i}=n-1}$

${\displaystyle y_{i}=4}$ dla ${\displaystyle r_{i}=2}$

${\displaystyle y_{i}=5}$ dla ${\displaystyle r_{i}=3}$

${\displaystyle y_{i}=6}$ dla ${\displaystyle r_{i}=n-2}$

${\displaystyle y_{i}=7}$ dla ${\displaystyle r_{i}=n-3}$

${\displaystyle y_{i}=8}$ dla ${\displaystyle r_{i}=4}$

itd.

• Ansariego-Bradleya^[19]:

${\displaystyle y_{i}={\frac {n+1}{2}}-\left|r_{i}-{\frac {n+1}{2}}\right|}$

• Mooda^[19]:

${\displaystyle y_{i}=\left(r_{i}-{\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}$

• korelacja rangowa
• rho Spearmana
• tau Kendalla

• Maurice G. Kendall: Rank Correlation Methods. Londyn: Charles Griffin & Company Limited, 1948.
• Pomoc do programu SAS