Rozkład normalny

Rozkład normalny

Gęstość prawdopodobieństwa Czerwona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	${\displaystyle \mu }$ położenie (liczba rzeczywista) ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ podniesiona do kwadratu skala (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle \mu }$
Mediana	${\displaystyle \mu }$
Moda	${\displaystyle \mu }$
Wariancja	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle 0}$
Kurtoza nadwyżkowa (eksces)	${\displaystyle 0}$
Entropia	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle \chi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Odkrywca	Abraham de Moivre (1733)[1]

Rozkład normalny, rozkład Gaussa^[2] (w literaturze francuskiej zwany również rozkładem Laplace’a-Gaussa) – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, odgrywający ważną rolę w statystyce. Wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu jest nazywany krzywą Gaussa lub krzywą dzwonową (ze względu na kształt podobny do dzwonu).

Rozkład normalny ma duże znaczenie w matematycznym opisie przyrody i zjawisk społecznych, gdyż w naturze często występują rozkłady cech bardzo zbliżone do rozkładu normalnego. Np. wzrost czy masa ludzi w populacji, wyniki egzaminów w dużej grupie osób, błędy pomiarów w doświadczeniach fizycznych, wymiary produkowanych elementów (np. średnica śrub, długość części maszyn).

Własność ta wynika z centralnego twierdzenia granicznego, które orzeka: Jeżeli mamy bardzo wiele drobnych czynników losowych, to niezależnie od rozkładu prawdopodobieństwa każdego z tych czynników rozkład ich sumy lub średniej będzie zbliżony do rozkładu normalnego^[a].

Ponadto, rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są proste obliczeniowo^[b].

Rozkład normalny można równoważnie określić na kilka sposobów:

• za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa,
• za pomocą dystrybuanty,
• poprzez ciąg momentów,
• poprzez ciąg kumulant,
• za pomocą funkcji charakterystycznej,
• za pomocą funkcji tworzącej momenty,
• za pomocą funkcji tworzącej kumulanty.

Każdy z powyższych opisów jednoznacznie określa rozkład normalny. Znając jeden z nich, można odtworzyć wszystkie pozostałe. W dalszej części artykułu przedstawiono wybrane sposoby formalnego opisu tego rozkładu.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego o parametrach ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ dana jest wzorem:^[3]

${\displaystyle f_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

gdzie:

• ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,+\infty )}$ – wartość średnia rozkładu normalnego,
• ${\displaystyle \sigma >0}$ – odchylenie standardowe; ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ – wariancja,
• ${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}$ – zakres wartości zmiennej losowej.

Wartości ${\displaystyle \mu }$ wpływa na położenie maksimum wykresu funkcji gęstości, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ wpływa na skalę (szerokość i wysokość) wykresu funkcji gęstości (por. rysunek u góry artykułu).

Twierdzenia

Tw. 1 We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu^[7].

Tw. 2 Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ${\displaystyle X}$ o rozkładzie normalnym przyjmie wartość odległą o mniej niż jedno odchylenie standardowe od wartości średniej rozkładu wynosi w przybliżeniu 68,3%. Prawdopodobieństwo to w przybliżeniu wynosi odpowiednio 95,5% i 99,7%, dla dwóch i trzech odchyleń standardowych od średniej (reguła trzech sigm)^[8].

Tw. 3 Punkty przegięcia krzywej Gaussa znajdują się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej. Są dwa takie punkty^[9].

Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa o rozkładzie ${\displaystyle {\mathcal {N}}(-1,2^{2})}$ ma wartości bezwzględne większe od 2, tj. szukamy ${\displaystyle P(|X|>2)}$. Korzystając z faktu, że ${\displaystyle P(|X|>2)=P(X>2)+P(X<-2)}$, obliczamy:

${\displaystyle P(X>2)=1-P(X<2)=1-\Phi \left({\frac {2+1}{2}}\right)=1-\Phi (1{,}5)}$

${\displaystyle P(X<-2)=\Phi \left({\frac {-2+1}{2}}\right)=\Phi (-0{,}5)=1-\Phi (0{,}5)}$

czyli

${\displaystyle P(|X|>2)=2-\Phi (1{,}5)-\Phi (0{,}5)}$

Z tablic odczytujemy wartości dystrybuanty dla rozkładu standardowego:

${\displaystyle \Phi (1{,}5)=0{,}933}$ oraz ${\displaystyle \Phi (0{,}5)=0{,}691}$

Stąd ${\displaystyle P(|X|>2)=0.376}$

Wartości dystrybuant rozkładów prawdopodobieństwa wyznacza się metodami numerycznymi, zapewniającymi wysoką dokładność. Metody te są zaimplementowane w wielu językach programowania oraz bibliotekach obliczeniowych i w praktyce zastępują tablice statystyczne.

from scipy.stats import norm
mu = 2 # średnia
sigma = 3 # odchylenie standardowe
x = 4 # argument funkcji
print(norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma))

import math
def normal_cdf(x, mu=0, sigma=1):
    return 0.5 * (1 + math.erf((x - mu) / (sigma * math.sqrt(2))))
print(normal_cdf(x = 4, mu = 2, sigma = 3))

Funkcję charakterystyczną rozkładu normalnego określa wzór^[12]:

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle i}$ - jednostka urojona. W ogólności jest to funkcja zespolona. Podobnie jak dystrybuanta funkcja ta koduje pełną informację na temat rozkładu zmiennej losowej. Dla standardowego rozkładu normalnego otrzymuje się z powyższego wzoru

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right).}$

Parametry, które różnicują poszczególne rozkłady w ramach rodziny rozkładów normalnych^[7]:

• wartość oczekiwana: ${\displaystyle \mu }$
• mediana: ${\displaystyle \mu }$
• wariancja: ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• odchylenie standardowe: ${\displaystyle \sigma }$
• entropia: ${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$, gdzie ${\displaystyle e\approx 2{,}71828}$ – liczba e

Parametry o identycznych wartościach dla wszystkich rozkładów normalnych^[7]:

• skośność: ${\displaystyle 0}$
• kurtoza: ${\displaystyle 3}$
• kurtoza nadwyżkowa (eksces): ${\displaystyle 0}$

Dowód, że ${\displaystyle \mu }$ jest wartością oczekiwaną

Zgodnie z definicją, wartość oczekiwaną rozkładu normalnego można wyznaczyć obliczając wartość całki ${\displaystyle E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }xe^{-{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\big )}^{2}}dx}$ w celu uproszczenia można wprowadzić nową zmienną ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\Rightarrow x=y{\sqrt {2}}\sigma +\mu }$ (a więc granice całkowania nie zmieniają się), ${\displaystyle dy={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }}dx\Rightarrow dx={\sqrt {2}}\sigma dy,}$ przy czym granice całkowania pozostają bez zmian. Zatem ${\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{+\infty }(y{\sqrt {2}}\sigma +\mu )e^{-y^{2}}{\sqrt {2}}\sigma dy\\&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(y{\sqrt {2}}\sigma +\mu )e^{-y^{2}}dy\\&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}{\sqrt {2}}\sigma \int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy+\mu \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy{\Bigg )}\\&={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy{\Bigg )}_{=0}^{(1)}+{\frac {\mu }{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy{\Bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}^{(2)}\\&={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sqrt {\pi }}}\cdot 0+{\frac {\mu }{\sqrt {\pi }}}\cdot {\sqrt {\pi }}\\&=\mu \end{aligned}}}$ cbdo. Przy wyprowadzeniu skorzystano z: ${\displaystyle (1)=\int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy={\frac {1}{2}}\int _{+\infty }^{+\infty }e^{-z}dz=0,}$ ${\displaystyle z=y^{2}}$ (granice całkowania się zmieniają), ${\displaystyle dz=2ydy\Rightarrow dy={\frac {dz}{2y}},}$ ${\displaystyle (2)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy}$ – całka Poissona.

Tw. 5 Jeśli ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ oraz ${\displaystyle a,b}$ są liczbami rzeczywistymi oraz ${\displaystyle b\neq 0}$, to ${\displaystyle aX+b\sim {\mathcal {N}}(a\mu +b,(a\sigma )^{2})}$^[8].

Tw. 6 Jeśli ${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ i ${\displaystyle X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ oraz zmienne ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ są niezależne, to ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).}$

Twierdzenie to uogólnia się na dowolną sumę ${\displaystyle n}$ niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych^[13].

Tw. 7 Jeśli ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna ${\displaystyle X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}}$ ma rozkład chi-kwadrat z ${\displaystyle n}$ stopniami swobody^[14].

Konsekwencją Tw. 5 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o niestandardowym rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego i odwrotnie.

Tw. 8 Jeżeli zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład normalny ze średnią ${\displaystyle \mu }$ i wariancją ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ma postać^[15]:

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}.}$

Definicja Przekształcenie zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ (o dowolnym rozkładzie) w zmienną losową o średniej 0 i wariancji 1 nazywa się standaryzowaniem zmiennej losowej ${\displaystyle X}$.

Tw. 9 Odwrotnie, jeśli ${\displaystyle Z}$ jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią ${\displaystyle \mu }$ i wariancją ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ otrzymuje się przez przekształcenie

${\displaystyle X=\sigma Z+\mu .}$

Z Tw. 8 korzysta się przy obliczaniu dystrybuant niestandardowych rozkładów normalnych (por. omówiona wyżej metoda standaryzowania przy korzystaniu z tablic rozkładów standardowych oraz w procedurach numerycznych).

Istnieje kilka metod, by wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym (np. gdy są potrzebne w symulacji komputerowej). Najprostszą metodą jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Tradycyjnie stosowano transformację Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (prostym do wygenerowania – patrz generator liczb losowych) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym. Transformacja ta jest konsekwencją Tw. 7 i faktu, że rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody jest rozkładem wykładniczym (łatwym do wygenerowania).

Współcześnie korzysta się z bardziej zoptymalizowanych i bardzo wydajnych generatorów rozkładu normalnego. Obok pokazano histogram z próby losowej o rozkładzie normalnym mającej ${\displaystyle n=1000}$ elementów, utworzony za pomocą procedury zaimplementowanej w języku Python. Kod do programu znajduje się w opisie grafiki (trzeba kliknąć na tę grafikę, następnie kliknąć w napis Więcej szczegółów, który jest u dołu okna z opisem grafiki).

Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że (przy pewnych założeniach) rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to treścią tzw. centralnego twierdzenia granicznego.

Twierdzenie to stosuje się, jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia innych rozkładów. Np.

• Rozkład dwumianowy z parametrami ${\displaystyle (n,p)}$ jest w przybliżeniu normalny dla dużych ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p}$ nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Rozkład normalny przybliżający rozkład dwumianowy ma średnią ${\displaystyle \mu =np}$ i odchylenie standardowe ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}.}$
• Rozkład Poissona z parametrem ${\displaystyle \lambda }$ jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości ${\displaystyle \lambda$ ;} ma on średnią ${\displaystyle \mu =\lambda }$ i odchylenie standardowe ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\lambda }}.}$

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność nieskończonej podzielności.

W opisie wiele rozkładów występujących w życiu codziennym przyjmuje się, że mają rozkład normalny (lub wielowymiarowy rozkład normalny). Jednak jest to często przybliżenie, gdyż rozkład normalny ma niezerową gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnych wartości ${\displaystyle x}$ zmiennej losowej, ${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}$, zaś zmienne losowe występujące w naturze mają zawsze ograniczone wartości, a często są nieujemne (np. wzrost).

Można przyjąć, że rozkład realnej zmiennej losowej jest normalny, jeżeli jest zbliżony do normalnego. Nie należy jednak robić tego bez sprawdzenia jak wielkie są rozbieżności. Rozkłady dalekie od normalnego (np. z elementami odstającymi) mogą sprawić, że wyniki metod statystycznych będą mylnie interpretowane.

Przykładem są tu metody regresji liniowej oraz korelacji Pearsona: choć zdefiniowane są dla dowolnych rozkładów, to jednak mają sensowną interpretację tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego wektora próbki. Jeżeli zaś w próbce występują elementy odstające, co jest szczególnym przypadkiem rozkładu dalekiego od normalnego, to regresja będzie dawała błędne rezultaty, a korelacja Pearsona może przyjąć dowolną wartość między ${\displaystyle -1}$ a ${\displaystyle +1,}$ bez względu na rzeczywistą zależność między zmiennymi losowymi.

• odwrotna dystrybuanta
• twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a
• rozkład próbkowania

• Korn G. A., Korn T. M., Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
• Kubik Lech. T. , Krupowicz Andrzej, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, rozdział V. Rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki, str. 172-176.
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 100-102.
• McQuarrie Donald A., Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, PWN Warszawa 2006, str. 176, 222-224.
• J. Wawrzynek: Metody opisu i wnioskowania statystycznego. Wrocław: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, 2007, s. 62. ISBN 978-83-7011-859-4.

• Algebra – statystyka – rozkład normalny, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube, [dostęp 2025-10-27].
• Frequency Curve (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].