Suma teleskopowa przypomina składanie teleskopu , w którym kolejne segmenty wsuwają się w siebie i znikają, pozostawiając jedynie elementy skrajne. Suma teleskopowa – suma skończona lub nieskończona , której wyrazy po odpowiednim przekształceniu ulegają kolejnej redukcji teleskopowej , pozostawiając jedynie wyrazy początkowe i końcowe[ 1]
Najczęściej rozważa się sumy postaci
∑
k
=
m
n
(
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}{\bigl (}g(k+1)-g(k){\bigr )}}
gdzie
g
{\displaystyle g}
Definicja
Niech
A
⊆
Z
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {Z} }
g
:
A
→
R
{\displaystyle g:A\to \mathbb {R} }
Sumę
∑
k
=
m
n
f
(
k
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f(k)}
nazywa się sumą teleskopową , jeżeli istnieje funkcja
g
{\displaystyle g}
f
(
k
)
=
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
{\displaystyle f(k)=g(k+1)-g(k)}
dla każdego
k
∈
m
,
m
+
1
,
…
,
n
{\displaystyle k\in {m,m+1,\dots ,n}}
Wówczas po rozwinięciu sumy otrzymujemy
∑
k
=
m
n
(
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}{\bigl (}g(k+1)-g(k){\bigr )}}
=
(
g
(
m
+
1
)
−
g
(
m
)
)
+
(
g
(
m
+
2
)
−
g
(
m
+
1
)
)
+
⋯
+
(
g
(
n
+
1
)
−
g
(
n
)
)
,
{\displaystyle =(g(m+1)-g(m))+(g(m+2)-g(m+1))+\cdots +(g(n+1)-g(n)),}
a wszystkie wyrazy pośrednie redukują się parami.
Jeżeli
f
(
k
)
=
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
,
{\displaystyle f(k)=g(k+1)-g(k),}
to zachodzi wzór
∑
k
=
m
n
f
(
k
)
=
g
(
n
+
1
)
−
g
(
m
)
.
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f(k)=g(n+1)-g(m).}
Korzystając z definicji, mamy
∑
k
=
m
n
f
(
k
)
=
∑
k
=
m
n
(
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f(k)=\sum _{k=m}^{n}(g(k+1)-g(k))}
∑
k
=
m
n
f
(
k
)
=
(
g
(
m
+
1
)
−
g
(
m
)
)
+
(
g
(
m
+
2
)
−
g
(
m
+
1
)
)
+
⋯
+
(
g
(
n
+
1
)
−
g
(
n
)
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f(k)=(g(m+1)-g(m))+(g(m+2)-g(m+1))+\cdots +(g(n+1)-g(n))}
Po skróceniu wszystkich wyrazów występujących z przeciwnymi znakami pozostaje
g
(
n
+
1
)
−
g
(
m
)
{\displaystyle g(n+1)-g(m)}
Niech
Δ
{\displaystyle \Delta }
operator różnicy skończonej
Δ
g
(
n
)
=
g
(
n
+
1
)
−
g
(
n
)
{\displaystyle \Delta g(n)=g(n+1)-g(n)}
Wówczas każdy wyraz sumy teleskopowej można zapisać w postaci
f
(
n
)
=
Δ
g
(
n
)
{\displaystyle f(n)=\Delta g(n)}
Otrzymujemy zatem zależność
∑
k
=
m
n
Δ
g
(
k
)
=
g
(
n
+
1
)
−
g
(
m
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}\Delta g(k)=g(n+1)-g(m)}
Stanowi ona dyskretny odpowiednik twierdzenia Newtona–Leibniza , zgodnie z którym całka funkcji pochodnej zależy wyłącznie od wartości funkcji pierwotnej na krańcach przedziału.
Jeżeli istnieje granica
lim
n
→
∞
g
(
n
)
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(n)=L}
to z własności teleskopowej wynika
∑
k
=
m
∞
(
g
(
k
+
1
)
−
g
(
k
)
)
=
lim
n
→
∞
(
g
(
n
+
1
)
−
g
(
m
)
)
=
L
−
g
(
m
)
{\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }(g(k+1)-g(k))=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}g(n+1)-g(m){\bigr )}=L-g(m)}
W szczególności szereg teleskopowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji
g
{\displaystyle g}
Rozważmy sumę
S
=
∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}}
Korzystając z rozkładu na ułamki proste,
1
k
(
k
+
1
)
=
1
k
−
1
k
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}}
otrzymujemy
S
=
∑
k
=
1
n
(
1
k
−
1
k
+
1
)
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}
Po rozwinięciu:
S
=
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
⋯
+
1
n
−
1
n
+
1
{\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}
Wszystkie wyrazy pośrednie redukują się, więc
∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
=
1
−
1
n
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{n+1}}}
Rozważmy szereg
S
=
∑
k
=
1
∞
1
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}}
Z poprzedniego przykładu wynika, że
∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
=
1
−
1
n
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{n+1}}}
Przechodząc do granicy przy
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
S
=
∑
k
=
1
∞
1
k
(
k
+
1
)
=
1.
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=1.}
Niech
f
(
k
)
=
ln
(
k
+
1
)
−
ln
(
k
)
{\displaystyle f(k)=\ln(k+1)-\ln(k)}
Wówczas
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
=
ln
2
−
ln
1
+
ln
3
−
ln
2
+
⋯
+
ln
(
n
+
1
)
−
ln
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\ln 2-\ln 1+\ln 3-\ln 2+\cdots +\ln(n+1)-\ln n}
Po redukcji pozostaje
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
=
ln
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\ln(n+1)}
Niech
F
n
{\displaystyle F_{n}}
ciąg Fibonacciego . Korzystając z tożsamości
F
k
+
2
−
F
k
+
1
F
k
+
1
=
F
k
F
k
+
1
{\displaystyle {\frac {F_{k+2}-F_{k+1}}{F_{k+1}}}={\frac {F_{k}}{F_{k+1}}}}
można skonstruować liczne szeregi teleskopowe związane z odwrotnościami kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego.
Przypisy
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. Telescoping Sum (ang. ) .
