Álgebra de Lie simples

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie

Na álgebra, uma álgebra de Lie simples é uma álgebra de Lie que é não abeliana e não contém ideais próprios não nulos. A classificação das álgebras de Lie simples reais é uma das maiores conquistas de Wilhelm Killing e Élie Cartan.^[1][2]

Uma soma direta de álgebras de Lie simples é chamada de álgebra de Lie semissimples.

Um grupo de Lie simples é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie é simples.

Uma álgebra de Lie complexa simples de dimensão finita é isomorfa a uma das seguintes: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$ (álgebras de Lie clássicas) ou uma das cinco álgebras de Lie excepcionais.^[3]

Para cada álgebra de Lie semissimples complexa de dimensão finita ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, existe um diagrama correspondente (chamado de Diagrama de Dynkin) no qual os nós denotam as raízes simples, os nós são unidos (ou não) por um número de linhas que dependem dos ângulos entre as raízes simples e setas são colocadas para indicar se as raízes são mais longas ou mais curtas.^[4] O diagrama de Dynkin de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é conexo se, e somente se, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ for simples. Todos os diagramas de Dynkin conexos possíveis são os seguintes:^[5] onde n é o número de nós (as raízes simples). A correspondência entre os diagramas e as álgebras de Lie simples complexas é a seguinte:^[4]

(A_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

(B_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(C_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

As demais, álgebras de Lie excepcionais.

Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ for uma álgebra de Lie simples real de dimensão finita, a sua complexificação é (1) simples ou (2) um produto de uma álgebra de Lie complexa simples e a sua conjugada. Por exemplo, a complexificação de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ pensada como uma álgebra de Lie real é ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$.

Dessa forma, uma álgebra de Lie simples real pode ser classificada pela classificação de álgebras de Lie simples complexas e algumas informações adicionais. Isso pode ser feito através de diagramas de Satake, que generalizam os diagramas de Dynkin. Veja também a lista de grupos de Lie simples para uma listagem parcial de álgebras de Lie simples reais.

• Grupo de Lie simples
• Plano de Vogel

• Predefinição:Fulton-Harris
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republicação do original de 1962. Dover Publications, Inc., Nova Iorque, 1979. ISBN 0-486-63832-4; O Capítulo X considera uma classificação de álgebras de Lie simples sobre um corpo de característica zero.

• «Lie algebra, semi-simple». Encyclopedia of Mathematics 
• «Simple Lie algebra». nLab