Forma de Killing

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie

Na matemática, a forma de Killing, nomeada em homenagem a Wilhelm Killing, é uma forma bilinear simétrica que desempenha um papel fundamental nas teorias dos grupos de Lie e das álgebras de Lie. Os critérios de Cartan (critério de solubilidade e critério de semissimplicidade) mostram que a forma de Killing tem uma relação estreita com a semissimplicidade das álgebras de Lie.^[1]

A forma de Killing foi essencialmente introduzida na teoria de álgebras de Lie por Élie Cartan (1894) em sua tese. Em um levantamento histórico da teoria de Lie, Borel (2001) descreveu como o termo "forma de Killing" ocorreu pela primeira vez em 1951 durante um de seus próprios relatórios para o Séminaire Bourbaki; ele surgiu como um nome impróprio, uma vez que a forma já havia sido usada anteriormente por teóricos de Lie, sem um nome associado.^[2] Alguns outros autores agora empregam o termo "forma de Cartan-Killing".^{[carece de fontes?]} No final do século XIX, Killing havia notado que os coeficientes da equação característica de um elemento semissimples regular de uma álgebra de Lie são invariantes sob o grupo adjunto, do qual se segue que a forma de Killing (isto é, o coeficiente de grau 2) é invariante, mas ele não fez muito uso do fato. Um resultado básico do qual Cartan fez uso foi o critério de Cartan, que afirma que a forma de Killing é não degenerada se, e somente se, a álgebra de Lie for uma soma direta de álgebras de Lie simples.^[2]

Considere uma álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sobre um corpo K. Cada elemento x de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ define o endomorfismo adjunto ad(x) (também escrito como ad_x) de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ com a ajuda do colchete de Lie, como

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}$

Agora, supondo que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ seja de dimensão finita, o traço da composição de dois desses endomorfismos define uma forma bilinear simétrica

${\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),}$

com valores em K, a forma de Killing em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

As propriedades a seguir decorrem como teoremas a partir da definição acima.

• A forma de Killing B é bilinear e simétrica.
• A forma de Killing é uma forma invariante, assim como todas as outras formas obtidas a partir de operadores de Casimir. A derivação dos operadores de Casimir se anula; para a forma de Killing, esse anulamento pode ser escrito como

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

onde [ , ] é o colchete de Lie.

• Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ for uma álgebra de Lie simples complexa, então qualquer forma bilinear simétrica invariante em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é um múltiplo escalar da forma de Killing. Isso não é mais verdade se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ for simples, mas não complexa; conceito-chave: álgebra de Lie absolutamente simples.
• A forma de Killing também é invariante sob automorfismos s da álgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, isto é,

${\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}$

para s em ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$.

• O critério de Cartan afirma que uma álgebra de Lie é semissimples se, e somente se, a forma de Killing for não degenerada.
• A forma de Killing de uma álgebra de Lie nilpotente é identicamente nula.
• Se I, J são dois ideais em uma álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ com interseção nula, então I e J são subespaços ortogonais com respeito à forma de Killing.
• O complemento ortogonal com respeito a B de um ideal é novamente um ideal.^[3]
• Se uma dada álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é uma soma direta de seus ideais I₁,...,I_n, então a forma de Killing de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é a soma direta das formas de Killing de cada uma das parcelas individuais.

Dada uma base e_i da álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, os elementos da matriz da forma de Killing são dados por

${\displaystyle B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).}$

Aqui

${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}}$

na notação de soma de Einstein, onde os c_ij^k são os coeficientes de estrutura da álgebra de Lie. O índice k funciona como índice de coluna e o índice n como índice de linha na matriz ad(e_i)ad(e_j). Tomar o traço equivale a colocar k = n e somar, e assim podemos escrever

${\displaystyle B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}}$

A forma de Killing é o 2-tensor mais simples que pode ser formado a partir das constantes de estrutura. A forma em si é, então, ${\displaystyle B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.}$

Na definição indexada acima, temos o cuidado de distinguir índices superiores e inferiores (índices co- e contravariantes). Isso ocorre porque, em muitos casos, a forma de Killing pode ser usada como um tensor métrico em uma variedade, caso em que a distinção se torna importante para as propriedades de transformação dos tensores. Quando a álgebra de Lie é semissimples sobre um corpo de característica zero, sua forma de Killing é não degenerada e, portanto, pode ser usada como um tensor métrico para levantar e abaixar índices. Nesse caso, é sempre possível escolher uma base para ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tal que as constantes de estrutura com todos os índices superiores sejam completamente antissimétricas.

A forma de Killing para algumas álgebras de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ são (para X, Y em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vistos em sua representação fundamental de matrizes):^{[carece de fontes?]}

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$	${\displaystyle B(X,Y)}$	Classificação	Número de Coxeter dual
${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)-2{\text{tr}}(X){\text{tr}}(Y)}$	-	-
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} ),n\geq 2}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle A_{n-1}}$	${\displaystyle n}$
${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n),n\geq 2}$	${\displaystyle 2n{\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle A_{n-1}}$	${\displaystyle n}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n),n\geq 2}$	${\displaystyle (n-2){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle B_{m},n=2m+1}$ para ${\displaystyle n}$ ímpar. ${\displaystyle D_{m},n=2m}$ para ${\displaystyle n}$ par.	${\displaystyle n-2}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),n\geq 2}$	${\displaystyle (n-2){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle B_{m},n=2m+1}$ para ${\displaystyle n}$ ímpar. ${\displaystyle D_{m},n=2m}$ para ${\displaystyle n}$ par.	${\displaystyle n-2}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ),n\geq 1}$	${\displaystyle 2(n+1){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle n+1}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ),n\geq 1}$	${\displaystyle 2(n+1){\text{tr}}(XY)}$	${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle n+1}$

A tabela mostra que o índice de Dynkin para a representação adjunta é igual a duas vezes o número de Coxeter dual.

Suponha que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ seja uma álgebra de Lie semissimples sobre o corpo dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Pelo critério de Cartan, a forma de Killing é não degenerada e pode ser diagonalizada em uma base adequada com as entradas diagonais ±1. Pela lei da inércia de Sylvester, o número de entradas positivas é um invariante da forma bilinear, ou seja, não depende da escolha da base diagonalizadora, e é chamado de índice da álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Este é um número entre 0 e a dimensão de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ que é um importante invariante da álgebra de Lie real. Em particular, uma álgebra de Lie real ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é chamada de compacta se a forma de Killing for negativa definida (ou negativa semidefinida se a álgebra de Lie não for semissimples). Note que esta é uma das duas definições não equivalentes comumente usadas para a compacidade de uma álgebra de Lie; a outra afirma que uma álgebra de Lie é compacta se corresponder a um grupo de Lie compacto. A definição de compacidade em termos de ser definida negativa da forma de Killing é mais restritiva, pois usando esta definição pode-se mostrar que sob a correspondência de Lie, álgebras de Lie compactas correspondem a grupos de Lie semissimples compactos.^[4][5]

Se ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ é uma álgebra de Lie semissimples sobre os números complexos, então existem várias álgebras de Lie reais não isomorfas cuja complexificação é ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$, as quais são chamadas de suas formas reais. Verifica-se que toda álgebra de Lie semissimples complexa admite uma única (a menos de isomorfismo) forma real compacta ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. As formas reais de uma dada álgebra de Lie semissimples complexa são frequentemente rotuladas pelo índice positivo de inércia de sua forma de Killing.

Por exemplo, a álgebra linear especial complexa ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ tem duas formas reais: a álgebra linear especial real, denotada por ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$, e a álgebra unitária especial, denotada por ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$. A primeira é não compacta, a chamada forma real cindida (split real form), e sua forma de Killing tem assinatura (2, 1). A segunda é a forma real compacta e sua forma de Killing é negativa definida, isto é, tem assinatura (0, 3). Os grupos de Lie correspondentes são o grupo não compacto ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ de matrizes reais 2 × 2 com determinante unitário e o grupo unitário especial ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$, que é compacto.^[6]

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre o corpo ${\displaystyle K}$, e ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)} uma representação de álgebra de Lie. Seja ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K}$ o funcional traço em ${\displaystyle V}$. Então podemos definir a forma do traço para a representação ${\displaystyle \rho }$ como

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).}$

Então a forma de Killing é o caso especial em que a representação é a representação adjunta, ${\displaystyle {\text{Tr}}_{\text{ad}}=B}$.

É fácil mostrar que esta é simétrica, bilinear e invariante para qualquer representação ${\displaystyle \rho }$.

Se, além disso, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ for simples e ${\displaystyle \rho }$ for irredutível, então pode ser mostrado que ${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B}$ onde ${\displaystyle I(\rho )}$ é o índice da representação.

• Invariante de Casimir
• Campo de vetores de Killing