Compactação de Stone-Bech

Um problema importante na topologia é como ampliar um espaço adicionando pontos de modo que certos tipos de limites existam. A compactificação de Stone-Čech de um espaço fornece a ampliação mais extensa desse tipo: ela adiciona pontos suficientes para garantir a existência de todos os limites generalizados, incluindo aqueles detectados por redes (nets) ou ultrafiltros, em vez de sequências comuns. A construção foi implicitamente introduzida por Andrey Nikolayevich Tikhonov (1930) e explicitamente descrita por Marshall Stone (1937) e Eduard Čech (1937).^[1][2][3][4]

Com mais detalhes, a compactificação de Stone-Čech é uma técnica para construir um mapa universal de um espaço topológico X para um espaço de Hausdorff compacto ${\displaystyle \beta X}$. A compactificação de Stone-Čech ${\displaystyle \beta X}$ é o único espaço de Hausdorff compacto "mais geral" gerado por X, no sentido de que qualquer mapa contínuo de X para qualquer outro espaço de Hausdorff compacto fatora-se de forma única através de ${\displaystyle \beta X}$. Se o espaço X é um espaço de Tychonoff, o mapa de X para ${\displaystyle \beta X}$ é um mergulho (embedding), e X pode ser identificado como um subespaço denso de ${\displaystyle \beta X}$. Para um espaço de Tychonoff, ${\displaystyle \beta X}$ é a maior compactificação de X: qualquer outra compactificação de Hausdorff de X é um espaço quociente de ${\displaystyle \beta X}$. Para espaços infinitos, a estrutura de ${\displaystyle \beta X}$ é frequentemente extremamente complexa, e provar sua existência geralmente requer o axioma da escolha.

O objetivo da compactificação é "ampliar" um espaço adicionando pontos limite idealizados para preencher quaisquer "buracos" ou fronteiras ausentes. Como os espaços compactos são matematicamente bem comportados, muitas vezes é útil mergulhar um espaço não compacto em um compacto. Muitas vezes existem várias maneiras de adicionar esses pontos, dependendo de como o espaço original está imerso em uma estrutura maior.

Andrey Nikolayevich Tikhonov introduziu os espaços completamente regulares em 1930 a fim de evitar a situação patológica de espaços de Hausdorff cujas únicas funções contínuas de valor real são mapas constantes.^[7]

No mesmo artigo de 1930 onde Tychonoff definiu os espaços completamente regulares, ele também provou que todo espaço de Tychonoff (ou seja, espaço completamente regular de Hausdorff) tem uma compactificação de Hausdorff (neste mesmo artigo, ele também provou o Teorema de Tychonoff). Em 1937, Čech estendeu a técnica de Tychonoff e introduziu a notação βX para essa compactificação. Stone também construiu βX em um artigo de 1937, embora usando um método muito diferente. Apesar de o artigo de Tychonoff ser o primeiro trabalho sobre o assunto da compactificação de Stone-Čech e apesar de o artigo de Tychonoff ser referenciado tanto por Stone quanto por Čech, o nome de Tychonoff raramente é associado a βX.^[8]

A compactificação de Stone-Čech do espaço topológico X é um espaço de Hausdorff compacto βX juntamente com um mapa contínuo i_X : X → βX que possui a seguinte propriedade universal: qualquer mapa contínuo f : X → K, onde K é um espaço de Hausdorff compacto, se estende de forma única para um mapa contínuo βf : βX → K, isto é, ${\displaystyle (\beta f)\circ i_{X}=f}$.^[9]

Como é comum em propriedades universais, essa propriedade universal caracteriza βX a menos de homeomorfismo.

Como delineado na seção § Construções abaixo, pode-se provar (usando o axioma da escolha) que tal compactificação de Stone-Čech i_X : X → βX existe para todo espaço topológico X. Além disso, a imagem i_X(X) é densa em βX.

Alguns autores adicionam a suposição de que o espaço inicial X seja de Tychonoff (ou mesmo Hausdorff localmente compacto), pelos seguintes motivos:

• O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo se e somente se X for de Tychonoff.
• O mapa de X para sua imagem em βX é um homeomorfismo para um subespaço aberto se e somente se X for um espaço de Hausdorff localmente compacto.

A construção de Stone-Čech pode ser realizada para espaços mais gerais X, mas nesse caso o mapa X → βX não precisa ser um homeomorfismo para a imagem de X (e às vezes nem sequer é injetivo).

Como é comum para construções universais como essa, a propriedade de extensão faz de β um funtor de Top (a categoria de espaços topológicos) para CHaus (a categoria de espaços compactos de Hausdorff). Além disso, se deixarmos U ser o funtor de inclusão de CHaus em Top, mapas de βX para K (para K em CHaus) correspondem bijetivamente a mapas de X para UK (considerando sua restrição a X e usando a propriedade universal de βX). ou seja,

Hom(βX, K) ≅ Hom(X, UK),

o que significa que β é um adjunto à esquerda de U. Isso implica que CHaus é uma subcategoria reflexiva de Top com refletor β.

Se X é um espaço compacto de Hausdorff, então ele coincide com sua compactificação de Stone-Čech.^[10]

A compactificação de Stone-Čech do primeiro ordinal não enumerável ${\displaystyle \omega _{1}}$, com a topologia da ordem, é o ordinal ${\displaystyle \omega _{1}+1}$. A compactificação de Stone-Čech da prancha de Tychonoff deletada é a prancha de Tychonoff.^[11] Esses exemplos não requerem o axioma da escolha.

No caso em que X é localmente compacto, por exemplo, N ou R, a imagem de X forma um subconjunto aberto de βX, ou, na verdade, de qualquer compactificação (esta também é uma condição necessária, já que um subconjunto aberto de um espaço de Hausdorff compacto é localmente compacto). Nesse caso, frequentemente se estuda o resto do espaço, βX \ X. Este é um subconjunto fechado de βX, e por isso é compacto. Consideramos N com a sua topologia discreta e escrevemos βN \ N = N* (embora esta não pareça ser uma notação padrão para um X geral).

Como explicado acima, pode-se ver βN como o conjunto de ultrafiltros em N, com a topologia gerada por conjuntos da forma ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$ para U um subconjunto de N. O conjunto N corresponde ao conjunto de ultrafiltros principais, e o conjunto N* ao conjunto de ultrafiltros livres.

O estudo de βN, e em particular de N*, é uma área importante da topologia da teoria dos conjuntos moderna. Os principais resultados que motivam isso são os Teoremas de Parovicenko, essencialmente caracterizando seu comportamento sob a suposição da hipótese do contínuo.

Estes afirmam:

• Todo espaço de Hausdorff compacto de peso no máximo ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (veja Número álef) é a imagem contínua de N* (isso não necessita da hipótese do contínuo, mas é menos interessante na sua ausência).
• Se a hipótese do contínuo for válida, então N* é o único Espaço de Parovicenko, a menos de isomorfismo.

Estes foram originalmente provados considerando álgebras boolianas e aplicando a Dualidade de Stone.

Jan van Mill descreveu βN como um "monstro de três cabeças" — sendo as três cabeças: uma cabeça sorridente e amigável (o comportamento sob a suposição da hipótese do contínuo), a cabeça feia da independência que tenta constantemente confundir (determinando qual comportamento é possível em diferentes modelos da teoria dos conjuntos), e a terceira cabeça sendo a menor de todas (o que você pode provar sobre ele em ZFC).^[21] Foi observado de forma relativamente recente que essa caracterização não está totalmente correta — na verdade, existe uma quarta cabeça de βN, na qual axiomas de forçamento e axiomas do tipo Ramsey conferem propriedades a βN quase diametralmente opostas àquelas sob a hipótese do contínuo, fornecendo realmente muito poucos mapas de N*. Exemplos desses axiomas incluem a combinação do Axioma de Martin e o Axioma da coloração aberta que, por exemplo, provam que (N*)² ≠ N*, enquanto a hipótese do contínuo implica o oposto.

A compactificação de Stone-Čech tem aplicações significativas na Teoria de Ramsey e na álgebra topológica. Embora ${\displaystyle \beta S}$ seja construída como um objeto topológico, se o espaço subjacente S for um semigrupo discreto (como os números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$ sob a adição), a operação algébrica em S pode ser estendida para ${\displaystyle \beta S}$. Isso transforma ${\displaystyle \beta S}$ em um semigrupo topológico à direita compacto. A estrutura algébrica de ${\displaystyle \beta S}$ — especificamente as propriedades de seus elementos idempotentes e sua estrutura de ideais — pode ser usada para provar resultados combinatórios profundos sobre o conjunto original S.^[29][30][31]

Um exemplo proeminente dessa utilidade é o Teorema dos Conjuntos Centrais (Central Sets Theorem). No estudo da compactificação de Stone-Čech, um subconjunto A de um semigrupo S é definido como central se for um membro de um ultrafiltro idempotente no ideal mínimo ${\displaystyle K(\beta S)}$. O Teorema dos Conjuntos Centrais (atribuído a Furstenberg e mais tarde generalizado por Hindman e Strauss) garante que esses conjuntos centrais sejam combinatoriamente ricos.

Para um semigrupo comutativo S, o Teorema dos Conjuntos Centrais afirma que se A for um subconjunto central de S, então, para qualquer especificação de sequências em S, existem sequências ${\displaystyle (a_{n})}$ em S e ${\displaystyle (H_{n})}$ de subconjuntos finitos de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ satisfazendo condições específicas de conjuntos de soma contidos inteiramente dentro de A. A importância da compactificação de Stone-Čech neste contexto é que ela fornece o mecanismo para provar a existência desses padrões regulares. A prova baseia-se no fato de que ${\displaystyle \beta S}$ é um espaço compacto, permitindo o uso do Lema de Zorn para encontrar ideais mínimos e idempotentes, que por sua vez correspondem à existência das estruturas combinatórias desejadas nos números inteiros. Esta abordagem topológica fornece provas para resultados como o Teorema de van der Waerden e o Teorema de Hales-Jewett.^[32]

As aplicações da compactificação de Stone-Čech vão além da regularidade de partição até a teoria da densidade de Ramsey e a teoria ergódica. Enquanto a teoria clássica de Ramsey pergunta qual célula de uma partição contém uma estrutura, a teoria da densidade de Ramsey afirma que qualquer subconjunto "grande" dos números naturais (especificamente, conjuntos com densidade superior de Banach positiva) deve conter padrões estruturados, como progressões aritméticas arbitrariamente longas (Teorema de Szemerédi).^[33]

A compactificação de Stone-Čech fornece uma ponte entre esses problemas da teoria dos números e os sistemas dinâmicos por meio do princípio da correspondência de Furstenberg. Esse princípio permite que problemas que envolvem conjuntos de densidade positiva nos inteiros sejam traduzidos em problemas que envolvem sistemas de preservação de medida. Nessa estrutura, ultrafiltros em ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ são usados para definir rigorosamente limites de sequências oscilantes, permitindo a construção de medidas de probabilidade específicas nos espaços dinâmicos associados. Adicionalmente, a estrutura algébrica de ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ (especificamente as propriedades do conjunto ${\displaystyle \Delta ^{*}}$ de ultrafiltros cujos membros todos têm densidade de Banach positiva) permite a prova de versões de "densidade forte" de teoremas combinatórios que são difíceis de estabelecer por métodos elementares.^[34]

• Compactificação
• Filtros em topologia
• Compactificação de Alexandroff (Compactificação de um ponto)
• Compactificação de Wallman

• Čech, Eduard (1937), «On bicompact spaces», Annals of Mathematics, 38 (4): 823–844, JSTOR 1968839, doi:10.2307/1968839, hdl:10338.dmlcz/100420 
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988). Linear Operators, vol. I:general theory Wiley Classics ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. p. 276 
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998), Algebra in the Stone–Cech compactification. Theory and applications, ISBN 978-3-11-015420-7, de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 2nd revised and extended 2012 ed. , Berlin: Walter de Gruyter & Co., pp. xiv+485 pp, MR 1642231, doi:10.1515/9783110809220 
• Predefinição:Munkres Topology
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3rd ed. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-540-32696-0 
• Koshevnikova, I.G. (2001), «Stone-Čech compactification», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Predefinição:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Shields, Allen (1987), «Years ago», Mathematical Intelligencer, 9 (2): 61–63, doi:10.1007/BF03025901 
• Stone, Marshall H. (1937), «Applications of the theory of Boolean rings to general topology», Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3): 375–481, JSTOR 1989788, doi:10.2307/1989788 
• Tychonoff, Andrey (1930), «Über die topologische Erweiterung von Räumen», Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 102: 544–561, doi:10.1007/BF01782364 
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (2012). Algebra in the Stone–Čech Compactification: Theory and Applications. Col: De Gruyter Expositions in Mathematics. 27 2nd ed. [S.l.]: Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025835-6. doi:10.1515/9783110258356 

• Compactificação de Stone-Čech no Planet Math (em inglês)
• Dror Bar-Natan, Ultrafiltros, Compacidade e a compactificação de Stone-Čech (em inglês)