Prancha de Tychonoff

Na topologia, a prancha de Tychonoff é um espaço topológico definido usando espaços de ordinais que serve como um contraexemplo para várias conjecturas que parecem plausíveis. Ela é definida como o produto topológico de dois espaços de ordinais ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ e ${\displaystyle [0,\omega ]}$, onde ${\displaystyle \omega }$ é o primeiro ordinal infinito e ${\displaystyle \omega _{1}}$ o primeiro ordinal não enumerável. A prancha de Tychonoff deletada (ou perfurada) é obtida removendo-se o ponto ${\displaystyle \infty =(\omega _{1},\omega )}$.^[1]

Seja ${\displaystyle \Omega }$ o conjunto de ordinais que são menores ou iguais a ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle \Omega _{1}}$ o conjunto de ordinais menores ou iguais a ${\displaystyle \omega _{1}}$. A prancha de Tychonoff é definida como o conjunto ${\displaystyle \Omega \times \Omega _{1}}$ com a topologia produto.^[2]

A prancha de Tychonoff deletada é o subconjunto ${\displaystyle S=\Omega \times \Omega _{1}\setminus \{(\omega ,\omega _{1})\}}$, onde ${\displaystyle S}$ é a prancha com um canto (o ponto no infinito) removido.^[3]

A prancha de Tychonoff é um espaço de Hausdorff compacto e, portanto, um espaço normal. No entanto, a prancha de Tychonoff deletada não é normal.^[4] Portanto, a prancha de Tychonoff não é completamente normal. Isso mostra que um subespaço de um espaço normal não precisa ser necessariamente normal. A prancha de Tychonoff não é perfeitamente normal porque não é um espaço G_δ: o conjunto unitário (singleton) ${\displaystyle \{\infty \}}$ é fechado, mas não é um conjunto G_δ.^[5]

A compactificação de Stone-Čech da prancha de Tychonoff deletada é a própria prancha de Tychonoff.^[6]

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