Constante de Gauss

Em matemática, a constante de Gauss, denotada pela letra G, é definida como o inverso da média aritmética-geométrica de 1 e raiz quadrada de dois:^[1][2][3][4]

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots }$^{[nota 1]}

O epónimo dessa constante é o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, porque, em 30 de maio de 1799, descobriu que:^[5][6][7][8]

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

sendo que:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}$

donde B denota a função beta de Euler.

A Constante de Gauss pode ser expressa usando o valor da função beta em (1/4, 1/2):

${\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

ou novamente, graças ao valor da função gama em 1/4:

${\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}$

e como π e Γ(1/4) são algebricamente independentes, a Constante de Gauss é transcendental.

A Constante de Gauss também pode ser expressa usando a função teta de Jacobi:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })}$.

Uma série rapidamente convergente para a Constante de Gauss é:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}}$.

A constante também é dada por um produto infinito:

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)}$.

A Constante de Gauss tem fração contínua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]^{[nota 2]}

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