Fórmula de Rodrigues

Em matemática, a fórmula de Rodrigues (anteriormente chamada de fórmula de Ivory-Jacobi) gera os polinômios de Legendre. Ela foi introduzida independentemente por Olinde Rodrigues (1816), Sir James Ivory (1824) e Carl Gustav Jacobi (1827). O nome "fórmula de Rodrigues" foi introduzido por Heine em 1878, após Hermite ter apontado em 1865 que Rodrigues foi o primeiro a descobri-la. O termo também é usado para descrever fórmulas semelhantes para outros polinômios ortogonais. Askey (2005) descreve a história da fórmula de Rodrigues em detalhes.

Afirmação

Seja $(P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$ uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo $[a,b]$ em relação à função peso $w(x)$ . Ou seja, eles têm graus ${\text{deg}}(P_{n})=n$ , e satisfazem a condição de ortogonalidade $\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n}$ onde $K_{n}$ são constantes não nulas dependendo de $n$ , e $\delta _{m,n}$ é o delta de Kronecker. O intervalo $[a,b]$ pode ser infinito em uma ou ambas as extremidades.

Fórmula do tipo Rodrigues — Se $w(x)=W(x)/B(x),\quad {\frac {W'(x)}{W(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$ onde $A(x)$ é um polinômio com grau de no máximo 1 e $B(x)$ é um polinômio com grau de no máximo 2, e $\lim _{x\to a}x^{k}W(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}x^{k}W(x)=0.$ para qualquer $k=0,1,2,\dots$ .

Então, se ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right]\neq 0$ para todo $n=0,1,2,\dots$ , temos $P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],$ para algumas constantes $c_{n}$ .

Demonstração^[1]

Seja ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$ , então ${\textstyle F_{k}=B^{n-k}p_{k}}$ para todo ${\textstyle k\in 0:n}$ para alguns polinômios ${\textstyle p_{k}}$ , tal que ${\textstyle {\text{deg}}(p_{k})\leq k}$ . Provado por indução em ${\textstyle k}$ : $F_{k+1}=B^{n-k-1}(Bp_{k}'+(n-k)B'p_{k}+(A-B')p_{k})$

Seja ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$ . Mostramos que ${\textstyle Q_{n}}$ é um polinômio de grau $\leq n$ . Com integração por partes, temos para todo ${\textstyle n>m}$ , $\int _{a}^{b}Q_{m}Q_{n}w\,dx=\int _{a}^{b}B^{n}w(D_{x}^{n}Q_{m})\,dx=0$ uma vez que ${\textstyle D_{x}^{n}Q_{m}=0}$ . Assim, ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ compõem uma série de polinômios ortogonais em relação a ${\textstyle w}$ . Deste modo, ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ para algumas constantes ${\textstyle c_{n}}$ .

Equação diferencial^[2] — $B(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{n}(x)+A(x){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)+\lambda _{n}P_{n}(x)=0$

$\lambda _{n}=-{\frac {1}{2}}n(n-1)B''-nA'$

Demonstração^[3]

Quando $n=0$ , é trivial. Quando $n=1$ , simplifica-se para $AP_{1}'=A'P_{1}$ , o que é verdade, uma vez que $P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A$ . Portanto, assuma que $n\geq 2$ . Defina $I_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B^{n}(x)w(x))$ , então por cálculo direto e simplificação, a equação a ser provada é equivalente a

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {d}{dx}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0$

Pela regra de diferenciação de Leibniz, temos

$B(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {d^{n-2}}{dx^{n-2}}}(B''y)$

$A(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}y={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}(A'y)$

para um $y$ arbitrário. Isto permite-nos mover $A(x),B(x)$ para o outro lado da $n$ -ésima derivada. Defina $y=B^{n}(x)w(x)$ , e defina

$J(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(B(x)y(x))-n{\frac {d}{dx}}(B'(x)y(x))+{\frac {n(n-1)}{2}}B''y(x)$

$K(x)=-{\frac {d}{dx}}(A(x)y(x))+nA'y(x)$

$L(x)=\lambda _{n}y(x)$

Então a equação simplifica-se para ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(J+K+L)=0$

$J(x)$ tem três termos, chame-os em ordem $J_{1}(x),J_{2}(x),J_{3}(x)$ . $K(x)$ tem dois termos, chame-os em ordem $K_{1}(x),K_{2}(x)$ .

$J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=\left(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''+nA'\right)y=0$ .

Que $J_{1}(x)+J_{2}(x)+K_{1}(x)=0$ segue escrevendo primeiro $J_{1}(x)$ como

$J_{1}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right)$

e então tomando a primeira derivada mais interna para obter

$J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\bigg (}nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x){\bigg )}\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)dx\right]$

e depois reescrevendo isto como

$J_{1}(x)={\frac {d}{dx}}{\Big (}nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x){\Big )}$

O primeiro termo é o negativo de $J_{2}(x)$ e o segundo termo é o negativo de $K_{1}(x)$ .

De forma mais abstrata, isso pode ser visto através da Teoria de Sturm-Liouville. Defina um operador $Lf:=-{\frac {1}{w}}(Wf')'$ , então a equação diferencial é equivalente a $LP_{n}=\lambda _{n}P_{n}$ . Defina o espaço funcional $X=L^{2}([a,b],w(x)dx)$ como o espaço de Hilbert de funções sobre $[a,b]$ , de tal modo que ${\displaystyle \langle f,g\rangle$ . Então o operador $L$ é autoadjunto sobre funções que satisfaçam certas condições de fronteira, permitindo-nos aplicar o teorema espectral.

Função geradora

Um argumento simples usando a fórmula integral de Cauchy mostra que os polinômios ortogonais obtidos da fórmula de Rodrigues têm uma função geradora da forma

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$

As funções $P_{n}(x)$ aqui podem não ter as normalizações padrão. Mas podemos escrever isso de forma equivalente como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

onde os $N_{n}$ são escolhidos de acordo com a aplicação de modo a dar as normalizações desejadas. A variável $u$ pode ser substituída por um múltiplo constante de $u$ de modo que

$G(x,\alpha u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}u^{n}}{N_{n}}}N_{n}P_{n}(x)$

Isto dá uma forma alternativa da função geradora.

Pela fórmula integral de Cauchy, a fórmula de Rodrigues é equivalente a $P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}{\frac {c_{n}}{w(x)}}\oint _{C}{\frac {B^{n}(t)w(t)}{(t-x)^{n+1}}}\,dt$ onde a integral é ao longo de um laço fechado no sentido anti-horário em torno de $x$ . Seja

$u={\frac {t-x}{B(t)}}$

Então a integral de caminho complexa assume a forma

$P_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}c_{n}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du$

$G(x,u)={\frac {w(t){\frac {dt}{du}}}{w(x)B(t)}}$

onde agora o caminho fechado C circunda a origem. Na equação para $G(x,u)$ , $t$ é uma função implícita de $u$ . A expansão de $G(x,u)$ na série de potências dada anteriormente resulta em

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {G(x,u)}{u^{n+1}}}\,du={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\sum _{m=0}^{\infty }u^{m}P_{m}(x)}{u^{n+1}}}\,du=P_{n}(x)$

Apenas o termo $m=n$ tem um resíduo não nulo, que é $P_{n}(x)$ . O coeficiente $n!\,c_{n}$ foi descartado uma vez que normalizações são convenções que podem ser inseridas posteriormente conforme discutido anteriormente.

Ao expressar $t$ em termos de $u$ na fórmula geral recém dada para $G(x,u)$ , fórmulas explícitas para $G(x,u)$ podem ser encontradas. Como um exemplo simples, seja $B(x)=1$ e $A(x)=-x$ (polinômios de Hermite) de modo que $w(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)$ , $t=u+x$ , $w(t)=\exp \left(-{\frac {(u+x)^{2}}{2}}\right)$ e assim $G(x,u)=\exp \left(-xu-{\frac {u^{2}}{2}}\right)$ .

Exemplos


Família	$[a,b]$	$w$	$W$	$A$	$B$	$c_{n}$
Legendre $P_{n}$	$[-1,+1]$	$1$	$1-x^{2}$	$-2x$	$1-x^{2}$	${\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}$
Chebyshev (do primeiro tipo) $T_{n}$	$[-1,+1]$	$1/{\sqrt {1-x^{2}}}$	${\sqrt {1-x^{2}}}$	$-x$	$1-x^{2}$	${\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!!}}$
Chebyshev (do segundo tipo) $U_{n}$	$[-1,+1]$	${\sqrt {1-x^{2}}}$	$(1-x^{2})^{3/2}$	$-3x$	$1-x^{2}$	${\frac {(-1)^{n}(n+1)}{(2n+1)!!}}$
Gegenbauer/ultraesféricos $C_{n}^{(\alpha )}(x)$	$[-1,+1]$	$(1-x)^{\alpha -1/2}(1+x)^{\alpha -1/2}$	$(1-x)^{\alpha +1/2}(1+x)^{\alpha +1/2}$	$-(2\alpha +1)x$	$1-x^{2}$	${\frac {(-1)^{n}(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}2^{n}n!}}$
Jacobi $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$	$[-1,+1]$	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$	$(1-x)^{\alpha +1}(1+x)^{\beta +1}$	$(\beta -\alpha )-(\alpha +\beta +2)x$	$1-x^{2}$	${\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}$
Laguerre associados $L_{n}^{(\alpha )}$	$[0,\infty )$	$x^{\alpha }e^{-x}$	$x^{\alpha +1}e^{-x}$	$\alpha +1-x$	$x$	${\frac {1}{n!}}$
Hermite (dos físicos) $H_{n}$	$(-\infty ,+\infty )$	$e^{-x^{2}}$	$e^{-x^{2}}$	$-2x$	$1$	$(-1)^{n}$

Estas fórmulas^[4]^[5] são para os polinômios ortogonais clássicos. Fórmulas semelhantes são válidas para muitas outras sequências de funções ortogonais resultantes das equações de Sturm-Liouville, e estas também são chamadas de fórmula de Rodrigues (ou fórmula do tipo Rodrigues), especialmente quando a sequência resultante é polinomial.

Legendre

Fonte:^[6]

Rodrigues estabeleceu a sua fórmula para os polinômios de Legendre $P_{n}$ :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.$ $(1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0$

Para polinômios de Legendre, a função geradora é definida como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}P_{n}(x)$ .

A integral de contorno resulta na integral de Schläfli^[7] para polinômios de Legendre:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i2^{n}}}\oint _{C}{\frac {(t^{2}-1)^{n}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt$

Somando o integrando

$G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\left({\frac {1}{t-t_{-}}}-{\frac {1}{t-t_{+}}}\right)\,dt$

onde $t_{\pm }={\frac {1}{u}}(1\pm {\sqrt {1-2ux+u^{2}}})$ . Para $u$ pequeno, temos $t_{-}\approx x,t_{+}\to \infty$ , o que sugere heuristicamente que a integral deve ser o resíduo em torno de $t_{-}$ , dando assim

$G(x,u)={\frac {1}{\sqrt {1-2ux+u^{2}}}}$

Hermite

Fonte:^[8]

Polinômios de Hermite (dos físicos):

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$ $H_{n}''-2xH_{n}'+2nH_{n}=0$

A função geradora é definida como

$G(x,u)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}\,u^{n}.$

A integral de contorno resulta em

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt.$

${\begin{aligned}G(x,u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{x^{2}}}{n!}}{\frac {n!}{2\pi i}}\,u^{n}\oint _{C}{\frac {e^{-t^{2}}}{(t-x)^{n+1}}}\,dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}u^{n}}{(t-x)^{n+1}}}\right)dt\\&=e^{x^{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}e^{-t^{2}}{\frac {1}{t-x+u}}\\&=e^{x^{2}}\,e^{-(x-u)^{2}}\\&=e^{2xu-u^{2}}\end{aligned}}$

Laguerre

Fonte:^[9]

Para os polinômios de Laguerre associados

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.$

$xL_{n}^{(\alpha )}(x)''+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )}(x)'+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0~.$

A função geradora é definida como

$G(x,u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)$

Pelo mesmo método, temos $G(x,u)={\frac {1}{(1-u)^{\alpha +1}}}e^{-{\frac {ux}{1-u}}}$ .

Jacobi

Fonte:^[10]

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left\{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(1-x^{2}\right)^{n}\right\}.$ $\left(1-x^{2}\right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}{}'+n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=0.$