Filtro de Wiener

Para a estimação de ${\displaystyle s(t+\alpha )}$ a partir da observação ${\displaystyle x(t)}$, o filtro LIT ótimo (em geral não causal) tem resposta em frequência

${\displaystyle G(\omega )={\frac {S_{xs}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}\,e^{j\omega \alpha },}$

em que ${\displaystyle S_{xs}(\omega )}$ é a densidade espectral de potência cruzada entre ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle s(t)}$, e ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ é a densidade espectral de potência de ${\displaystyle x(t)}$ ^[5][6].

Se ${\displaystyle g(t)}$ é a resposta ao impulso ótima, ou seja, a reposta ao impulso do Filtro de Wiener, o erro quadrático médio mínimo pode ser escrito como ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} \{e^{2}(t)\}=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )\,R_{xs}(\tau +\alpha )\,d\tau ,}$

em que ${\displaystyle R_{s}(\tau )}$ é a função de autocorrelação de ${\displaystyle s(t)}$ e ${\displaystyle R_{xs}(\tau )}$ é a função de correlação cruzada entre ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle s(t)}$, por exemplo:

${\displaystyle R_{s}(\tau )=\operatorname {E} \{s(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}$

${\displaystyle R_{xs}(\tau )=\operatorname {E} \{x(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}$

em que ${\displaystyle ^{*}}$ indica conjugação complexa.

A resposta ao impulso ${\displaystyle g(t)}$ é obtida pela transformada inversa de Fourier de ${\displaystyle G(\omega )}$.^[7]

Quando se impõe a exigência de causalidade (tipicamente para ${\displaystyle \alpha \geq 0}$), a solução do filtro de Wiener pode ser expressa em termos de uma fatoração espectral do espectro do sinal observado. Seja ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ a densidade espectral de potênciade ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle S_{sx}(\omega )}$ a densidade espectral de potência cruzada entre ${\displaystyle s(t)}$ e ${\displaystyle x(t)}$.^[5][8]

Faz-se uma fatoração espectral (Wiener–Hopf)

${\displaystyle S_{x}(\omega )=S_{x}^{+}(\omega )\,S_{x}^{-}(\omega ),}$

em que ${\displaystyle S_{x}^{+}(\omega )}$ é escolhido como um fator causal/estável (associado a uma resposta ao impulso nula para ${\displaystyle t<0}$ e com inversa também causal/estável) e ${\displaystyle S_{x}^{-}(\omega )}$ é o fator complementar (anti-causal). Para processos reais, é comum tomar ${\displaystyle S_{x}^{-}(\omega )={\big (}S_{x}^{+}(\omega ){\big )}^{*}}$^[8].

Define-se então o operador ${\displaystyle [\,\cdot \,]_{+}}$ como a parte causal de uma função no domínio da frequência: se ${\displaystyle F(\omega )}$ tem transformada inversa de Fourier ${\displaystyle f(t)}$, então ${\displaystyle [F(\omega )]_{+}}$ é a transformada de ${\displaystyle f(t)\,u(t)}$, em que ${\displaystyle u(t)}$ é o degrau unitário (isto é, descarta-se a parte para ${\displaystyle t<0}$)^[7][8].

Com essa notação, define-se

${\displaystyle H(\omega )=\left[{\frac {S_{sx}(\omega )}{S_{x}^{-}(\omega )}}\,e^{j\omega \alpha }\right]_{+},}$

e a solução causal do filtro de Wiener é dada por

${\displaystyle G(\omega )={\frac {H(\omega )}{S_{x}^{+}(\omega )}}.}$^[5]

Em muitos exemplos didáticos, quando os espectros admitem representações racionais (via extensão analítica), a operação ${\displaystyle [\,\cdot \,]_{+}}$ pode ser implementada por decomposição em frações parciais e retenção apenas dos termos compatíveis com causalidade/estabilidade (no caso contínuo, termos associados a polos no semiplano esquerdo). ^[7]

A resposta ao impulso ${\displaystyle g(t)}$ é obtida pela transformada inversa de Fourier de ${\displaystyle G(\omega )}$.^[5][7]

No caso de tempo discreto, os coeficientes ótimos do filtro de Wiener são determinados a partir de estatísticas de segunda ordem do sinal de entrada e do sinal desejado, levando às equações normais de Wiener–Hopf.^[9][10][11]

Considere um sinal de entrada de tempo discreto ${\displaystyle x[n]}$ aplicado a um filtro com resposta ao impulso finita (FIR) causal de ordem ${\displaystyle N}$ (comprimento ${\displaystyle N+1}$), com coeficientes ${\displaystyle \mathbf {w} =[w_{0},\ldots ,w_{N}]^{T}.}$

O vetor de regressores é definido como

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=[x[n],x[n-1],\ldots ,x[n-N]]^{T}}$

e a saída do filtro como

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{N}w_{k}\,x[n-k]=\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} _{n}.}$

Seja ${\displaystyle d[n]}$ o sinal desejado. Define-se o erro como

${\displaystyle e[n]=d[n]-y[n]}$

e escolhe-se ${\displaystyle \mathbf {w} }$ para minimizar o erro quadrático médio

${\displaystyle J(\mathbf {w} )=\operatorname {E} \{|e[n]|^{2}\}.}$^[9]

A condição de otimalidade (gradiente nulo) conduz às equações de Wiener–Hopf

${\displaystyle \mathbf {R} _{xx}\,\mathbf {w} _{\text{opt}}=\mathbf {p} _{xd},}$

em que ${\displaystyle \mathbf {R} _{xx}=\operatorname {E} \{\mathbf {x} _{n}\mathbf {x} _{n}^{H}\}}$ é a matriz de autocorrelação (Toeplitz hermitiana) do vetor de entrada e

${\displaystyle \mathbf {p} _{xd}=\operatorname {E} \{\mathbf {x} _{n}d^{*}[n]\}}$

é o vetor de correlação cruzada entre a entrada e o desejado (${\displaystyle H}$ denota transposta conjugada e ${\displaystyle ^{*}}$ denota conjugação complexa).^[10]

Em termos de correlações escalares, usando a convenção

${\displaystyle R_{x}[m]=\operatorname {E} \{x[n]x^{*}[n-m]\}}$

e

${\displaystyle r_{xd}[m]=\operatorname {E} \{x[n]d^{*}[n-m]\},}$

tem-se ${\displaystyle [\mathbf {R} _{xx}]_{i,j}=R_{x}[i-j]}$ e ${\displaystyle [\mathbf {p} _{xd}]_{i}=r_{xd}[i],}$para ${\displaystyle i,j=0,\ldots ,N}$.

Assim, quando ${\displaystyle \mathbf {R} _{xx}}$ é inversível,

${\displaystyle \mathbf {w} _{\text{opt}}=\mathbf {R} _{xx}^{-1}\mathbf {p} _{xd}.}$^[11]

Para sinais reais, ${\displaystyle \mathbf {R} _{xx}}$ torna-se Toeplitz simétrica e vale ${\displaystyle R_{x}[-m]=R_{x}[m]}$; para sinais complexos, ${\displaystyle \mathbf {R} _{xx}}$ é Toeplitz hermitiana e vale ${\displaystyle R_{x}[-m]=R_{x}^{*}[m]}$.^[10]

Devido à estrutura Toeplitz, existem algoritmos eficientes para resolver as equações de Wiener–Hopf sem inversão explícita, como o algoritmo de Levinson–Durbin (e suas extensões para o caso hermitiano).^[9]