Grupos de Chow

Na geometria algébrica, os grupos de Chow (batizados em homenagem a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley em 1958) são grupos associados a uma variedade algébrica sobre um corpo e que desempenham, no contexto algébrico-geométrico, papel análogo ao da homologia em topologia. Seus elementos são classes de ciclos algébricos (combinações formais de subvariedades) análogas às cadeias usadas na homologia simplicial ou celular. Quando a variedade é suave, os grupos de Chow podem ser vistos como uma teoria de tipo cohomológico (cf. dualidade de Poincaré), e admitem um produto interno, o produto de interseção. Em geral, os grupos de Chow carregam informação aritmética e geométrica profunda e costumam ser difíceis de calcular.

Equivalência racional e grupos de Chow

Para o que segue, uma variedade sobre um corpo $k$ será um esquema integral de tipo finito sobre $k$ . Se $X$ é um esquema de tipo finito sobre $k$ , um ciclo algébrico em $X$ é uma combinação linear finita de subvariedades (fechadas) de $X$ , com coeficientes em inteiros. Para um número natural $i$ , denota-se por $Z_{i}(X)$ o grupo dos ciclos de dimensão $i$ (ou $i$ -ciclos), isto é, o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto das subvariedades de dimensão $i$ em $X$ .

Seja $W$ uma variedade de dimensão $i+1$ , e seja $f$ uma função racional em $W$ que não seja identicamente nula. O divisor de $f$ define um $i$ -ciclo

(f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)\,Z,

em que a soma percorre as subvariedades $Z</mathsubsetW$ de dimensão $i$ e $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ é a ordem de anulação de $f$ ao longo de $Z$ (negativa quando há polo ao longo de $Z$ ). Para $W$ singular, a definição de $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ requer cuidado.^[1]

Para um esquema $X$ de tipo finito sobre $k$ , diz-se que um $i$ -ciclo é racionalmente equivalente a zero se pertence ao subgrupo de $Z_{i}(X)$ gerado pelos ciclos $(f)$ , quando $W$ varia entre as subvariedades de dimensão $i+1$ de $X$ e $f$ varia entre funções racionais não nulas em $W$ . O grupo de Chow de dimensão $i$ é então o quociente

CH_{i}(X):=Z_{i}(X){\big /}\sim _{\mathrm {rat} },

onde $\sim _{\mathrm {rat} }$ é a equivalência racional. Costuma-se escrever $[Z]$ para a classe de uma subvariedade $Z$ em $CH_{i}(X)$ ; se $[Z]=[W]$ , diz-se que $Z$ e $W$ são racionalmente equivalentes.

Como exemplo, se $X$ tem dimensão $n$ , então $CH_{n-1}(X)$ identifica-se com o grupo de classes de divisores de $X$ . Se $X$ é suave sobre $k$ (e, mais geralmente, normal e fatorial localmente noetheriano), esse grupo coincide com o grupo de Picard de fibrados em retas em $X$ .^[2]

Exemplos de equivalência racional

Equivalência racional em espaço projetivo

Em espaço projetivo é fácil produzir famílias de hipersuperfícies racionalmente equivalentes: dadas formas homogêneas $f,g$ de grau $d$ , com

f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d)),

considera-se a família definida por $sf+tg$ e realiza-se esquematicamente como

X=\operatorname {Proj} \!\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}.

Pela projeção $\pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}$ , a fibra sobre $[s_{0}:t_{0}]$ é a hipersuperfície $s_{0}f+t_{0}g=0$ . Usando uma especialização como $sf+t\,x_{0}^{d}$ , conclui-se que a classe de qualquer hipersuperfície de grau $d$ é racionalmente equivalente a $d[\mathbb {P} ^{n-1}]$ , pois o locus $x_{0}^{d}=0$ é $\mathbb {P} ^{n-1}$ com multiplicidade $d$ .

Equivalência racional em curvas

Se $C$ é uma curva projetiva suave e $L,L'\in \operatorname {Pic} (C)$ são fibrados em retas distintos, então, em geral, os divisores de zeros de seções genéricas $s\in H^{0}(C,L)$ e $s'\in H^{0}(C,L')$ determinam classes distintas em $CH(C)$ . Isso reflete a identificação, em curvas suaves, entre classes de divisores e classes em $\operatorname {Pic} (C)$ .

O anel de Chow

Se $X$ é suave sobre $k$ , define-se $CH^{i}(X)$ como o grupo de Chow de ciclos de codimensão $i$ . Se $\dim X=n$ , então $CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)$ . Os grupos $CH^{*}(X)$ formam um anel graduado comutativo com produto

CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\to CH^{i+j}(X).

O produto é induzido pela interseção de ciclos. Por exemplo, se $Y$ e $Z$ são subvariedades suaves de codimensões $i$ e $j$ que se intersectam transversalmente, então $[Y]\cdot [Z]$ é representado pela soma das componentes irredutíveis de $Y\cap Z$ , todas de codimensão $i+j$ .

Em situações mais gerais, a teoria da interseção fornece representantes explícitos para $[Y]\cdot [Z]$ . Em particular, Fulton e MacPherson constroem um elemento canônico nos grupos de Chow de $Y\cap Z$ cuja imagem em $CH^{*}(X)$ coincide com o produto, sem hipóteses de transversalidade.^[3]

Exemplos

Espaço projetivo

O anel de Chow de $\mathbb {P} ^{n}$ sobre qualquer corpo $k$ é

CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),

onde $H$ é a classe de um hiperplano. Além disso, qualquer subvariedade $Y</mathsubset\mathbb {P} ^{n}$ de grau $d$ e codimensão $a$ é racionalmente equivalente a $dH^{a}$ . Assim, para subvariedades $Y$ e $Z$ de dimensões complementares e graus $a$ e $b$ , vale

[Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n},

em que $H^{n}$ é a classe de um ponto $k$ -racional. Se $k$ é algebricamente fechado e a interseção é transversal, obtém-se $ab$ pontos de interseção (contados com multiplicidade), uma forma do teorema de Bézout.

Fórmula do fibrado projetivo

Se $E\to X$ é um fibrado vetorial de posto $r$ sobre um esquema suave e próprio $X$ , o anel de Chow do fibrado projetivo associado $\mathbb {P} (E)$ pode ser descrito em termos de $CH^{\bullet }(X)$ e das classes de Chern de $E$ . Denotando

\zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))

e por $c_{1},\ldots ,c_{r}$ as classes de Chern de $E$ , há um isomorfismo de anéis

CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}.

Superfícies de Hirzebruch

Como exemplo, considere a superfície de Hirzebruch $F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))$ sobre $\mathbb {P} ^{1}$ . A única classe de Chern não trivial do fibrado de posto 2 é $c_{1}=aH$ , donde

CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}.

Observações

Os grupos de Chow podem ter comportamento mais sutil em variedades gerais. Por exemplo, se $X$ é uma curva elíptica sobre $k$ , o grupo de Chow de zero-ciclos se encaixa numa sequência exata

0\to X(k)\to CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} \to 0.

Logo $CH_{0}(X)$ relaciona-se estreitamente ao grupo de $k$ -pontos racionais $X(k)$ . Se $k$ é um corpo de números, esse grupo é chamado grupo de Mordell–Weil. Se $k=\mathbf {C}$ , há exemplos em que grupos de Chow podem ser grupos abelianos incontáveis.

Funtorialidade

Se $f:X\to Y$ é um morfismo próprio, existe, para cada inteiro $i$ , um homomorfismo de empurrão (pushforward)

f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y).

Em particular, para $X$ próprio sobre $k$ , obtém-se um homomorfismo $CH_{0}(X)\to \mathbf {Z}$ que envia um ponto fechado $\operatorname {Spec} (E)</mathsubsetX$ ao seu grau $[E:k]$ .

Se $f:X\to Y$ é plano com fibras de dimensão $r$ (possivelmente vazias), há um homomorfismo de puxão (homomorfismo de Gysin)

f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X).

Uma ferramenta fundamental de cálculo é a sequência de localização: para um esquema $X$ sobre $k$ e um subesquema fechado $Z\subset X$ , há uma sequência exata

CH_{i}(Z)\to CH_{i}(X)\to CH_{i}(X-Z)\to 0.

Essa sequência estende-se à esquerda via a generalização dada pelos grupos de Chow superiores (homologia motivica de Borel–Moore).^[4]^[5]

Se $f:X\to Y$ é um morfismo entre esquemas suaves sobre $k$ , existe também um puxão

f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)

que é homomorfismo de anéis $CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)$ .

Exemplos de puxões planos

Em recobrimentos ramificados de curvas, as multiplicidades das fibras aparecem como coeficientes no puxão de classes de pontos. Por exemplo, num morfismo com ramificação acima de $\alpha$ , com fatoração

g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}

(com algum $e_{i}>1$ ), a fibra $f^{-1}(\alpha )=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}$ vem com multiplicidades $e_{1},\ldots ,e_{k}$ e

f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha _{1}]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}].

Em famílias planas $X\to S$ , para $S'\subset S$ , o diagrama cartesiano

{\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}

leva a

f^{*}[S']=[S'\times _{S}X].

Aplicações de ciclo

Existem homomorfismos (aplicações de ciclo) dos grupos de Chow para teorias mais computáveis. Se $X$ é um esquema sobre $\mathbf {C}$ , há uma aplicação para a homologia de Borel–Moore:^[6]

{\mathit {CH}}_{i}(X)\to H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ),

onde o fator 2 decorre do fato de que uma subvariedade complexa de dimensão $i$ tem dimensão real $2i$ . Se $X$ é suave sobre $\mathbf {C}$ , pela dualidade de Poincaré obtém-se um morfismo

{\mathit {CH}}^{j}(X)\to H^{2j}(X,\mathbf {Z} ),

e, nesse caso, trata-se de um homomorfismo de anéis do anel de Chow para o anel de cohomologia.

Para variedades projetivas suaves complexas, a aplicação de ciclo para cohomologia ordinária fatora através da cohomologia de Deligne, incorporando o morfismo de Abel–Jacobi para o jacobiano intermediário.^[7]

Para um corpo arbitrário $k$ , há um análogo em termos de (co)homologia étale de Borel–Moore; quando $X$ é suave, isso pode ser identificado com um homomorfismo de anéis do anel de Chow para a cohomologia étale.^[8]

Relação com a K-teoria

Se $E$ é um fibrado vetorial algébrico sobre um esquema suave $X$ , existem classes de Chern $c_{i}(E)\in CH^{i}(X)$ com propriedades formais análogas às topológicas.^[9] Seja $K_{0}(X)$ o grupo de Grothendieck dos fibrados vetoriais sobre $X$ . No contexto do teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, Grothendieck mostrou que o caráter de Chern induz um isomorfismo

K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}CH^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .

Esse resultado evidencia a centralidade da equivalência racional em comparação com outras relações de equivalência adequadas em ciclos.

Conjecturas

Diversas conjecturas profundas da geometria algébrica e da teoria dos números relacionam-se aos grupos de Chow:

Em variedades sobre corpos de números, discute-se a finitude e o posto de grupos de ciclos sob relações como equivalência homológica e equivalência racional; conjecturas do tipo Bloch–Kato sobre valores especiais de funções L prevêem propriedades de finitude e relações com ordens de anulação.
Para variedades projetivas suaves complexas, a conjectura de Hodge descreve a imagem (após tensoriar com $\mathbf {Q}$ ) da aplicação de ciclo para cohomologia singular. Para variedades suaves projetivas sobre corpos finitamente gerados, a conjectura de Tate descreve a imagem (após tensoriar com $\mathbf {Q} _{\ell }$ ) da aplicação de ciclo para a Cohomologia p-ádica.
A conjectura de Bloch–Beilinson prevê a existência de uma filtração nos grupos de Chow (com coeficientes racionais) com fortes consequências, conectando cohomologia singular/étale e grupos de Chow.^[10]

Como exemplo, se $X$ é uma superfície projetiva suave complexa, o homomorfismo grau envia $CH_{0}(X)$ sobre $\mathbf {Z}$ ; seja $K$ o seu núcleo. Se o gênero geométrico $h^{0}(X,\Omega ^{2})$ é não nulo, Mumford mostrou que $K$ é “infinito-dimensional” num sentido preciso.^[11] A conjectura de Bloch–Beilinson implicaria uma recíproca (conjectura de Bloch sobre zero-ciclos): para superfícies com gênero geométrico zero, $K$ deveria ser finito-dimensional e ligar-se à variedade de Albanese.

Variantes

Teoria bivariante

Fulton e MacPherson estenderam a teoria para variedades singulares introduzindo o anel de Chow operacional e, mais geralmente, uma teoria bivariante associada a um morfismo de esquemas.^[12] Uma teoria bivariante combina funtores covariantes e contravariantes, generalizando a ideia de uma teoria de cohomologia. Outras teorias (como cohomologia motivica) admitem aplicações para o anel de Chow operacional.

Outras variantes

Os grupos de Chow aritméticos combinam grupos de Chow de variedades sobre $\mathbf {Q}$ com dados de tipo arakeloviano (por exemplo, formas diferenciais no espaço complexo associado).

A teoria estende-se de esquemas para espaços algébricos de tipo finito sobre um corpo, o que é útil para quocientes e para definir grupos de Chow equivariantes. Uma extensão mais delicada é a de pilhas (stacks), necessária, por exemplo, para definir uma classe fundamental virtual em geometria enumerativa.

História

A equivalência racional de divisores (equivalência linear) foi estudada no século XIX, levando a construções como o grupo de classes de ideais na teoria algébrica dos números e a variedade jacobiana na teoria de curvas. Para ciclos de codimensão maior, a equivalência racional foi introduzida por Francesco Severi na década de 1930. Em 1956, Chow demonstrou que o produto de interseção é bem definido em ciclos módulo equivalência racional para variedades quase-projetivas suaves, usando o lema de movimento de Chow. A partir da década de 1970, Fulton e MacPherson estabeleceram a fundação moderna, tratando variedades singulares quando possível e construindo o produto de interseção em variedades suaves via deformação ao cone normal.^[13]

Ver também

Referências

↑ Fulton, Intersection Theory, §1.2 e Apêndice A.3.
↑ «Stacks Project, Tag 0BE9». stacks.math.columbia.edu. Consultado em 28 de fevereiro de 2026
↑ Fulton, Intersection Theory, §8.1.
↑ Fulton, Intersection Theory, Proposição 1.8.
↑ Bloch, Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, §2.2 e Proposição 4.2.9.
↑ Fulton, Intersection Theory, §19.1.
↑ Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 1, §12.3.3; v. 2, Teorema 9.24.
↑ Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exposé 4.
↑ Fulton, Intersection Theory, §3.2 e Exemplo 8.3.3.
↑ Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Conjectura 11.21.
↑ Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Teorema 10.1.
↑ Fulton, Intersection Theory, Capítulo 17.
↑ Fulton, Intersection Theory, Caps. 5, 6 e 8.

Bibliografia introdutória

Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. [S.l.: s.n.]

Bibliografia avançada

Bloch, Spencer (1986). «Algebraic cycles and higher K-theory». Advances in Mathematics. 61 (3): 267–304. MR 0852815. doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2
Claude, Chevalley (1958). «Les classes d'équivalence rationnelle, I». Anneaux de Chow et applications. Col: Séminaire Claude Chevalley. 3. [S.l.: s.n.] pp. 1–14
Claude, Chevalley (1958). «Les classes d'équivalence rationnelle, II». Anneaux de Chow et applications. Col: Séminaire Claude Chevalley. 3. [S.l.: s.n.] pp. 1–18
Chow, Wei-Liang (1956). «On equivalence classes of cycles in an algebraic variety». Annals of Mathematics. 64 (3): 450–479. JSTOR 1969596. MR 0082173. doi:10.2307/1969596
Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale (SGA 4 1/2). [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08066-4. MR 0463174
Fulton, William (1998). Intersection Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98549-7. MR 1644323
Severi, Francesco (1932). «La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica». Commentarii Mathematici Helvetici. 4: 268–326. JFM 58.1229.01. doi:10.1007/bf01202721
Voevodsky, Vladimir (2000). «Triangulated categories of motives over a field». Cycles, Transfers, and Motivic Homology Theories. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 188–238. ISBN 9781400837120. MR 1764202
Voisin, Claire (2002). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71801-1. MR 1997577

[Fulton12-1] Fulton, Intersection Theory, §1.2 e Apêndice A.3.

[Stacks0BE9-2] «Stacks Project, Tag 0BE9». stacks.math.columbia.edu. Consultado em 28 de fevereiro de 2026

[Fulton81-3] Fulton, Intersection Theory, §8.1.

[Fulton18-4] Fulton, Intersection Theory, Proposição 1.8.

[5] Bloch, Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, §2.2 e Proposição 4.2.9.

[6] Fulton, Intersection Theory, §19.1.

[7] Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 1, §12.3.3; v. 2, Teorema 9.24.

[8] Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exposé 4.

[9] Fulton, Intersection Theory, §3.2 e Exemplo 8.3.3.

[10] Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Conjectura 11.21.

[11] Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, v. 2, Teorema 10.1.

[12] Fulton, Intersection Theory, Capítulo 17.

[13] Fulton, Intersection Theory, Caps. 5, 6 e 8.

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