Morfismo plano

Outros exemplos de morfismos planos podem ser encontrados usando a "planura milagrosa" (miracle flatness)^[4], que afirma que se um morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ entre um esquema de Cohen-Macaulay para um esquema regular tem fibras equidimensionais, então ele é plano. Exemplos simples disso são as fibrações elípticas, os morfismos suaves e os morfismos para variedades estratificadas que satisfazem a planura milagrosa em cada um dos estratos.

Os exemplos universais de morfismos planos de esquemas são dados por esquemas de Hilbert. Isso ocorre porque os esquemas de Hilbert parametrizam classes universais de morfismos planos, e todo morfismo plano é o pullback de algum esquema de Hilbert. Ou seja, se ${\displaystyle f\colon X\to S}$ for plano, existe um diagrama comutativo

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}}$

para o esquema de Hilbert de todos os morfismos planos para ${\displaystyle S}$. Como ${\displaystyle f}$ é plano, as fibras ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ têm todas o mesmo polinômio de Hilbert ${\displaystyle \Phi }$, e por isso poderíamos ter escrito de forma análoga ${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$ para o esquema de Hilbert acima.

• A composição de dois morfismos planos é plana.^[8]
• O produto fibrado de dois morfismos planos ou fielmente planos é um morfismo plano ou fielmente plano, respectivamente.^[9]
• A planura e a planura fiel são preservadas por mudança de base: Se ${\displaystyle f}$ é plano ou fielmente plano e ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$, então o produto fibrado ${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$ é plano ou fielmente plano, respectivamente.^[10]
• O conjunto de pontos onde um morfismo (localmente de apresentação finita) é plano é um conjunto aberto.^[11]
• Se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano e de apresentação finita, e se ${\displaystyle gf}$ for de tipo finito ou apresentação finita, então ${\displaystyle g}$ é de tipo finito ou apresentação finita, respectivamente.^[12]

Suponha que ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ seja um morfismo plano de esquemas.

• Se ${\displaystyle F}$ é um feixe quase-coerente de apresentação finita sobre ${\displaystyle Y}$ (em particular, se ${\displaystyle F}$ é coerente), e se ${\displaystyle J}$ é o anulador de ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle Y}$, então ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$, o pullback do mapeamento de inclusão, é uma injeção, e a imagem de ${\displaystyle f^{*}J}$ em ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ é o anulador de ${\displaystyle f^{*}F}$ sobre ${\displaystyle X}$.^[13]
• Se ${\displaystyle f}$ for fielmente plano e se ${\displaystyle G}$ for um ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-módulo quase-coerente, então o mapeamento de imagem inversa em seções globais ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$ é injetivo.^[14]

Suponha que ${\displaystyle h\colon S'\to S}$ seja plano. Sejam ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ esquemas sobre ${\displaystyle S}$, e sejam ${\displaystyle X'}$ e ${\displaystyle Y'}$ suas mudanças de base por ${\displaystyle h}$.

• Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é quase-compacto e dominante, então a sua mudança de base ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$ é quase-compacta e dominante.^[15]
• Se ${\displaystyle h}$ é fielmente plano, então o mapeamento de imagem inversa ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$ é injetivo.^[16]
• Assuma que ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ seja quase-compacto e quase-separado. Seja ${\displaystyle Z}$ a imagem fechada de ${\displaystyle X}$, e seja ${\displaystyle j\colon Z\to Y}$ a injeção canônica. Então o subesquema fechado determinado pela mudança de base ${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$ é a imagem fechada de ${\displaystyle X'}$.^[17]

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é plano, então ele possui todas as seguintes propriedades:

• Para cada ponto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ e cada generalização ${\displaystyle y'}$ de ${\displaystyle y=f(x)}$, existe uma generalização ${\displaystyle x'}$ de ${\displaystyle x}$ de modo que ${\displaystyle y'=f(x')}$.^[18]
• Para cada ponto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$.^[19]
• Para cada subconjunto fechado irredutível ${\displaystyle Y'}$ de ${\displaystyle Y}$, toda componente irredutível de ${\displaystyle f^{-1}(Y')}$ domina ${\displaystyle Y'}$.^[20]
• Se ${\displaystyle Z}$ e ${\displaystyle Z'}$ são dois subconjuntos fechados irredutíveis de ${\displaystyle Y}$ com ${\displaystyle Z}$ contido em ${\displaystyle Z'}$, então para toda componente irredutível ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle f^{-1}(Z)}$, existe uma componente irredutível ${\displaystyle T'}$ de ${\displaystyle f^{-1}(Z')}$ contendo ${\displaystyle T}$.^[21]
• Para cada componente irredutível ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle X}$, o fecho de ${\displaystyle f(T)}$ é uma componente irredutível de ${\displaystyle Y}$.^[22]
• Se ${\displaystyle Y}$ for irredutível com um ponto genérico ${\displaystyle y}$, e se ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ for irredutível, então ${\displaystyle X}$ é irredutível.^[23]
• Se ${\displaystyle f}$ for também fechado, a imagem de cada componente conexa de ${\displaystyle X}$ é uma componente conexa de ${\displaystyle Y}$.^[24]
• Para cada subconjunto pró-construtível ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$.^[25]

Se ${\displaystyle f}$ é plano e localmente de apresentação finita, então ${\displaystyle f}$ é universalmente aberto.^[26] Contudo, se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano e quase-compacto, não é verdade, em geral, que ${\displaystyle f}$ seja aberto, mesmo que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sejam noetherianos.^[27] Além disso, nenhuma recíproca a essa afirmação se sustenta: Se ${\displaystyle f}$ é o mapeamento canônico do esquema reduzido ${\displaystyle X_{red}}$ para ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle f}$ é um homeomorfismo universal, mas para um ${\displaystyle X}$ não reduzido e noetheriano, ${\displaystyle f}$ nunca será plano.^[28]

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é fielmente plano e quase-compacto, então:

• A topologia em ${\displaystyle Y}$ é a topologia quociente relativa a ${\displaystyle f}$.^[29]
• Se ${\displaystyle Z}$ é um subconjunto de ${\displaystyle Y}$, então ${\displaystyle Z}$ é um subconjunto pró-construtível localmente fechado de ${\displaystyle Y}$ se e somente se ${\displaystyle f^{-1}(Z)}$ for um subconjunto pró-construtível localmente fechado de ${\displaystyle X}$.^[30]

Se ${\displaystyle f}$ é plano e localmente de apresentação finita, então para cada uma das seguintes propriedades P, o conjunto de pontos onde ${\displaystyle f}$ tem a propriedade P é um conjunto aberto:^[31]

• Condição S_{${\displaystyle k}$} de Serre (para qualquer ${\displaystyle k}$ fixo).
• Geometricamente regular.
• Geometricamente normal.

Se, além disso, ${\displaystyle f}$ for próprio, então a mesma regra vale para cada uma das propriedades a seguir:^[32]

• Geometricamente reduzido.
• Geometricamente reduzido e possuindo ${\displaystyle k}$ componentes conexas geométricas (para qualquer ${\displaystyle k}$ fixo).
• Geometricamente integral.

Assuma que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sejam localmente noetherianos, e seja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

• Seja ${\displaystyle x}$ um ponto de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle y=f(x)}$. Se ${\displaystyle f}$ for plano, então ${\displaystyle \dim _{x}X=\dim _{y}Y+\dim _{x}f^{-1}(y)}$.^[33] Inversamente, se esta igualdade for verdadeira para todos os ${\displaystyle x}$, e ${\displaystyle X}$ for um esquema de Cohen-Macaulay, e ${\displaystyle Y}$ for regular, e se além disso ${\displaystyle f}$ mapear pontos fechados para pontos fechados, então ${\displaystyle f}$ é plano.^[34]
• Se ${\displaystyle f}$ for fielmente plano, então para cada subconjunto fechado ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {\text{codim}}_{Y}(Z)={\text{codim}}_{X}(f^{-1}(Z))}$.^[35]
• Suponha que ${\displaystyle f}$ seja plano e que ${\displaystyle F}$ seja um módulo quase-coerente sobre ${\displaystyle Y}$. Se ${\displaystyle F}$ tem dimensão projetiva no máximo ${\displaystyle n}$, então ${\displaystyle f^{*}F}$ tem dimensão projetiva no máximo ${\displaystyle n}$.^[36]

• Assuma que ${\displaystyle f}$ é plano em ${\displaystyle x}$ pertencente a ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle X}$ é reduzido ou normal em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle Y}$ é reduzido ou normal, respectivamente, em ${\displaystyle f(x)}$.^[37] Reciprocamente, se ${\displaystyle f}$ é também de apresentação finita e ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ for reduzido ou normal, respectivamente, em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle X}$ é reduzido ou normal, respectivamente, em ${\displaystyle x}$.^[38]
• Em particular, se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano, então um ${\displaystyle X}$ reduzido ou normal implica que ${\displaystyle Y}$ seja reduzido ou normal, respectivamente. Se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano e de apresentação finita, então se todas as fibras de ${\displaystyle f}$ forem reduzidas ou normais, isso implica que ${\displaystyle X}$ é reduzido ou normal, respectivamente.
• Se ${\displaystyle f}$ é plano em ${\displaystyle x}$ pertencente a ${\displaystyle X}$, e se ${\displaystyle X}$ for integral ou integralmente fechado em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle Y}$ é integral ou integralmente fechado, respectivamente, em ${\displaystyle f(x)}$.^[39]
• Se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano, ${\displaystyle X}$ é localmente integral, e o espaço topológico de ${\displaystyle Y}$ for localmente noetheriano, então ${\displaystyle Y}$ é localmente integral.^[40]
• Se ${\displaystyle f}$ é fielmente plano e quase-compacto, e se ${\displaystyle X}$ for localmente noetheriano, então ${\displaystyle Y}$ também é localmente noetheriano.^[41]
• Assuma que ${\displaystyle f}$ é plano e que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sejam localmente noetherianos. Se ${\displaystyle X}$ é regular em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle Y}$ é regular em ${\displaystyle f(x)}$. Reciprocamente, se ${\displaystyle Y}$ é regular em ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ é regular em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle X}$ é regular em ${\displaystyle x}$.^[42]
• Assuma que ${\displaystyle f}$ é plano e que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sejam localmente noetherianos. Se ${\displaystyle X}$ é normal em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle Y}$ é normal em ${\displaystyle f(x)}$. Reciprocamente, se ${\displaystyle Y}$ for normal em ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ for normal em ${\displaystyle x}$, então ${\displaystyle X}$ será normal em ${\displaystyle x}$.^[43]

Seja ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ fielmente plano. Seja ${\displaystyle F}$ um feixe quase-coerente sobre ${\displaystyle Y}$, e seja ${\displaystyle F'}$ o pullback de ${\displaystyle F}$ para ${\displaystyle Y'}$. Então ${\displaystyle F}$ é plano sobre ${\displaystyle Y}$ se e somente se ${\displaystyle F'}$ for plano sobre ${\displaystyle Y'}$.^[44]

Assuma que ${\displaystyle f}$ é fielmente plano e quase-compacto. Seja ${\displaystyle G}$ um feixe quase-coerente sobre ${\displaystyle Y}$, e denote por ${\displaystyle F}$ o seu pullback para ${\displaystyle X}$. Então ${\displaystyle F}$ é de tipo finito, apresentação finita, ou localmente livre de posto ${\displaystyle n}$ se e somente se ${\displaystyle G}$ tiver a propriedade correspondente.^[45]

Suponha que ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ seja um morfismo-${\displaystyle S}$ de esquemas sobre ${\displaystyle S}$. Seja ${\displaystyle g\colon S'\to S}$ fielmente plano e quase-compacto, e denotemos por ${\displaystyle X'}$, ${\displaystyle Y'}$ e ${\displaystyle f'}$ as mudanças de base por ${\displaystyle g}$. Então, para cada uma das propriedades P listadas a seguir, se ${\displaystyle f'}$ tiver P, então ${\displaystyle f}$ tem P.^[46]

• Aberto.
• Fechado.
• Quase-compacto e um homeomorfismo em sua imagem.
• Um homeomorfismo.

Além disso, para cada uma das seguintes propriedades P, ${\displaystyle f}$ possui a propriedade P se e somente se ${\displaystyle f'}$ possuir a propriedade P.^[47]

• Universalmente aberto.
• Universalmente fechado.
• Um homeomorfismo universal.
• Quase-compacto.
• Quase-compacto e dominante.
• Quase-compacto e universalmente bicontínuo.
• Separado.
• Quase-separado.
• Localmente de tipo finito.
• Localmente de apresentação finita.
• Tipo finito.
• Apresentação finita.
• Próprio.
• Um isomorfismo.
• Um monomorfismo.
• Uma imersão aberta.
• Uma imersão quase-compacta.
• Uma imersão fechada.
• Afim.
• Quase-afim.
• Finito.
• Quase-finito.
• Integral.

É possível que ${\displaystyle f'}$ seja um isomorfismo local sem que ${\displaystyle f}$ seja sequer uma imersão local.^[48]

Se ${\displaystyle f}$ for quase-compacto e ${\displaystyle L}$ for um feixe inversível em ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle L}$ é ${\displaystyle f}$-amplo ou ${\displaystyle f}$-muito amplo se e somente se seu pullback ${\displaystyle L'}$ for ${\displaystyle f'}$-amplo ou ${\displaystyle f'}$-muito amplo, respectivamente.^[49] Contudo, não é verdade que ${\displaystyle f}$ seja projetivo se e somente se ${\displaystyle f'}$ for projetivo. Não é sequer verdade que, se ${\displaystyle f}$ for próprio e ${\displaystyle f'}$ for projetivo, então ${\displaystyle f}$ seja quase-projetivo, pois é possível ter um feixe ${\displaystyle f'}$-amplo sobre ${\displaystyle X'}$ que não descende para ${\displaystyle X}$.^[50]