Integral de Tchebychev

A Integral de Tchebychev é formulada por

Teorema — $\int x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)$

onde $B(x;a,b)$ é a função beta incompleta.^[1]

Teorema de integração dos binômios diferenciais

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:^[2]

\int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx

onde $a$ e $b$ são números reais e $m$ , $n$ e $p$ são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer $m$ , $n$ e $p$ , exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:^[3]^[4]

$p$ é um número inteiro;

Expande-se

(a+b\,x^{n})^{p}

pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples

{\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}

. Então a substituição

x=t^{r}

, onde

r

é o maior de todos os denominadores

c

, removerá completamente os radicais.^[5]

${\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro;

Substitui-se

a+b\,x^{n}=t^{k}

onde

k

é o denominador de

p

,^[4] ou seja,

x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}

e

x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}

.^[6]

$p+{\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro.

Substitui-se

ax^{-n}+b=t^{k}

onde

k

é o denominador de

p

.^[5]^[4]

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.^[7]

Exemplo

$\int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$ ,^[4] onde $p=-{\frac {3}{2}}$ , $n=2$ e $m=3$ , ou seja, ${\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2$ .

Logo, $1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz$ .

Assim, $F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.$

Ver também

Função beta incompleta.

Referências

↑ Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
↑ «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019
1 2 3 4 Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131
1 2 Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF). Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion
↑ Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF). ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

[1] Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019

[2] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

[3] «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019

[:0-4] 1 2 3 4 Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131

[:1-5] 1 2 Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF). Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion

[6] Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF). ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION

[7] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

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Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade