Morfismo suave

Seja ${\displaystyle f}$ o morfismo de esquemas

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

Ele é suave devido à condição jacobiana: a matriz jacobiana

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

se anula nos pontos ${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$, que têm uma interseção vazia com o polinômio, uma vez que

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

são ambos diferentes de zero.

Dada uma esquema suave ${\displaystyle Y}$, o morfismo de projeção

${\displaystyle Y\times X\to X}$

é suave.

Todo fibrado vetorial ${\displaystyle E\to X}$ sobre um esquema é um morfismo suave. Por exemplo, pode-se mostrar que o fibrado vetorial associado de ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ é o espaço projetivo ponderado menos um ponto

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

enviando

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Note que os fibrados de soma direta ${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$ podem ser construídos usando o produto fibrado

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Lembre-se de que uma extensão de corpo ${\displaystyle K\to L}$ é chamada de separável se, e somente se, dada uma apresentação

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

temos que o ${\displaystyle {\text{mdc}}(f(x),f'(x))=1}$. Podemos reinterpretar esta definição em termos de diferenciais de Kähler da seguinte forma: a extensão de corpo é separável se, e somente se

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0.}$

Note que isto inclui todo corpo perfeito: corpos finitos e corpos de característica ${\displaystyle 0}$.

Se considerarmos ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ da álgebra subjacente ${\displaystyle R}$ para uma variedade projetiva ${\displaystyle X}$, chamado de cone afim de ${\displaystyle X}$, então o ponto na origem é sempre singular. Por exemplo, considere o cone afim de uma variedade quíntica de dimensão ${\displaystyle 3}$ dada por

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

A matriz jacobiana é dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

que se anula na origem, portanto o cone é singular. Hipersuperfícies afins como estas são populares na teoria das singularidades devido à sua álgebra relativamente simples, mas com ricas estruturas subjacentes.

Outro exemplo de uma variedade singular é o cone projetivo de uma variedade suave: dada uma variedade projetiva suave ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$, o seu cone projetivo é a união de todas as retas em ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ que intersectam ${\displaystyle X}$. Por exemplo, o cone projetivo dos pontos

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

é o esquema

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Se olharmos na carta ${\displaystyle z\neq 0}$, este é o esquema

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

e ao projetá-lo para baixo na reta afim ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$, esta é uma família de quatro pontos que degeneram na origem. A não-singularidade deste esquema também pode ser verificada usando a condição jacobiana.

Considere a família plana

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

As fibras são todas suaves, exceto pelo ponto na origem. Uma vez que a suavidade é estável sob mudança de base, esta família não é suave.

Por exemplo, a extensão de corpo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$ é não separável, logo o morfismo de esquemas associado não é suave. Se olharmos para o polinômio mínimo da extensão de corpo,

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

então ${\displaystyle df=0}$, logo as diferenciais de Kähler serão diferentes de zero.