Teorema Pi-Lambda

Em matemática, especificamente em teoria da medida, o Teorema ${\displaystyle \pi }$-${\displaystyle \lambda }$, Teorema Pi-Lambda, ou Lema de Dynkin, é um resultado que estabelece uma relação entre sistemas ${\displaystyle \pi }$, sistemas ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \sigma }$-álgebras. Ele é usado no estudo de medidas produto, em particular para demonstrar o Teorema de Fubini.^[1]

Seja ${\displaystyle S}$ um conjunto qualquer e ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ o conjunto das partes de ${\displaystyle S}$. Para um dado ${\displaystyle X\subseteq S}$ a ${\displaystyle \sigma }$-álgebra gerada por ${\displaystyle X}$, denotada por ${\displaystyle \sigma (X)}$, é a interseção de todas as ${\displaystyle \sigma }$-álgebras ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(S)}$ tais que ${\displaystyle X\subseteq \Sigma }$. Consequentemente, qualquer tal ${\displaystyle \Sigma }$ possui ${\displaystyle \sigma (X)}$ como subconjunto. De forma similar, o sistema ${\displaystyle \lambda }$ gerado por ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle \lambda (X)}$, é a interseção de todos os sistemas ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq {\mathcal {P}}(S)}$ tais que ${\displaystyle X\subseteq \Lambda }$. ${\displaystyle \sigma (X)}$ é sempre uma ${\displaystyle \sigma }$-álgebra, e ${\displaystyle \lambda (X)}$ é sempre um sistema ${\displaystyle \lambda }$. Como toda ${\displaystyle \sigma }$-àlgebra é também um sistema ${\displaystyle \lambda }$, temos que ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq \sigma (X)}$, para qualquer ${\displaystyle X}$.

O Teorema ${\displaystyle \pi }$-${\displaystyle \lambda }$ é a afirmação que ${\displaystyle \lambda (X)=\sigma (X)}$ sempre que ${\displaystyle X}$ é um sistema ${\displaystyle \pi }$. Em particular, se ${\displaystyle Y\subseteq S}$ é um sistema ${\displaystyle \lambda }$ tal que ${\displaystyle X\subseteq Y}$ então ${\displaystyle \sigma (X)\subseteq Y}$.

Como é sempre o caso que ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq \sigma (X)}$, basta mostrar que ${\displaystyle \sigma (X)\subseteq \lambda (X)}$. Como ${\displaystyle X\subseteq \lambda (X)}$, isso será verdade caso ${\displaystyle \lambda (X)}$ seja uma ${\displaystyle \sigma }$-álgebra. Já sabemos que é um sistema ${\displaystyle \lambda }$.

Usaremos o fato que um sistema ${\displaystyle \lambda }$ que é também um sistema ${\displaystyle \pi }$ é uma ${\displaystyle \sigma }$-álgebra. Para ver isso, suponha que ${\displaystyle J\subseteq {\mathcal {P}}(S)}$ é sistema ${\displaystyle \lambda }$ e sistema ${\displaystyle \pi }$. Disso já sabemos que

• ${\displaystyle S\in J}$.
• ${\displaystyle A\in J}$ implica ${\displaystyle S\backslash A\in J}$.

Agora para ${\displaystyle A,B\in J}$ temos ${\displaystyle A\backslash B=A\backslash (A\cap B)=A\cap S\backslash (A\cap B)=S\backslash (S\backslash A\;\cup (A\cap B))\in J}$. Portanto dados ${\displaystyle A_{i}\in J}$, com ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, podemos definir ${\displaystyle B_{i}\in J}$ como ${\displaystyle B_{i}:=A_{i}\backslash B_{i-1}}$. Temos que ${\displaystyle \bigcup A_{i}=\bigcup B_{i}}$, mas ${\displaystyle B_{i}}$ é além disso pares-disjunto, ou seja, temos ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ sempre. Como ${\displaystyle J}$ é sistema ${\displaystyle \lambda }$, temos ${\displaystyle \bigcup B_{i}\in J}$. Consequentemente,

• ${\displaystyle A_{i}\in J}$, para todo ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, implica ${\displaystyle \bigcup A_{i}\in J}$.

Portanto basta mostrar que ${\displaystyle \lambda (X)}$ é um sistema ${\displaystyle \pi }$. Ou seja, que para todo ${\displaystyle A,B\in \lambda (X)}$ temos ${\displaystyle A\cap B\in \lambda (X)}$. Será útil usar a seguinte definição: Para todo ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(S)}$,

${\displaystyle H_{A}:=\{B\in {\mathcal {P}}(S):B\cap A\in \lambda (X)\}}$

Então ${\displaystyle \lambda (X)}$ ser um sistema ${\displaystyle \pi }$ é equivalente a ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq H_{A}}$, para todo ${\displaystyle A\in \lambda (X)}$. Note que a expressão ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq H_{A}}$ será necessariamente verdade sempre que ${\displaystyle H_{A}}$ for um sistema ${\displaystyle \lambda }$ que possui ${\displaystyle X}$ como subconjunto. Mostraremos que isso é sempre o caso.

Se ${\displaystyle A\in \lambda (X)}$ então ${\displaystyle H_{A}}$ é um sistema ${\displaystyle \lambda }$ pois

• ${\displaystyle S\cap A=A\in \lambda (X)}$. Ou seja, ${\displaystyle S\in H_{A}}$.
• Se ${\displaystyle B\in H_{A}}$ então ${\displaystyle B\cap A\in \lambda (X)}$. Consequentemente ${\displaystyle S\backslash B\;\cap A=(S\cap A)\backslash B=A\backslash (B\cap A)\in \lambda (X)}$, uma vez que ${\displaystyle \lambda (X)}$ é sistema ${\displaystyle \lambda }$. Ou seja, ${\displaystyle B\in H_{A}}$ implica ${\displaystyle S\backslash B\in H_{A}}$.
• Se ${\displaystyle B_{i}\in H_{A}}$, para todo ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, e ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ sempre, então ${\displaystyle {\Big (}\bigcup B_{i}{\Big )}\cap A=\bigcup \;(B_{i}\cap A)\in \lambda (X)}$, uma vez que ${\displaystyle \lambda (X)}$ é sistema ${\displaystyle \lambda }$. Ou seja, ${\displaystyle B_{i}\in H_{A}}$ pares-disjunto implica ${\displaystyle \bigcup B_{i}\in H_{A}}$

Agora se ${\displaystyle A\in X}$ temos que para todo ${\displaystyle B\in X}$, ${\displaystyle A\cap B\in X\subseteq \lambda (X)}$. Em outras palavras, ${\displaystyle X\subseteq H_{A}}$. Portanto já podemos afirmar que ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq H_{A}}$ quando ${\displaystyle A\in X}$. Mas isso é o mesmo que dizer que para ${\displaystyle A\in X}$ e ${\displaystyle B\in \lambda (X)}$ temos sempre ${\displaystyle A\cap B\in \lambda (X)}$. O que é o mesmo que dizer ${\displaystyle X\subseteq H_{B}}$ sempre que ${\displaystyle B\in \lambda (X)}$. O que então implica ${\displaystyle \lambda (X)\subseteq H_{B}}$, para todo ${\displaystyle B\in \lambda (X)}$, como buscávamos mostrar. Isso conclui a demonstração.