Teorema de Bell

O artigo de Bell de 1964 mostra que um modelo de variáveis ocultas locais muito simples pode, em circunstâncias restritas, reproduzir as previsões da mecânica quântica, mas depois ele demonstra que, em geral, tais modelos dão previsões diferentes.^[2][13]:806 Bell considera um refinamento feito por David Bohm do experimento mental de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR). Neste cenário, um par de partículas é formado junto de tal forma que são descritas por um estado singlete de spin (que é um exemplo de um estado emaranhado). As partículas então se afastam em direções opostas. Cada partícula é medida por um dispositivo de Stern-Gerlach, um instrumento de medição que pode ser orientado em diferentes direções e que relata um de dois resultados possíveis, representáveis por ${\displaystyle +1}$ e ${\displaystyle -1}$. A configuração de cada instrumento de medição é representada por um vetor unitário, e a previsão da mecânica quântica para a correlação entre dois detectores com configurações ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ é $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.}$$ Em particular, se a orientação dos dois detectores for a mesma (${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$), então o resultado de uma medição será certamente o negativo do resultado da outra, resultando em ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1}$. E se as orientações dos dois detectores forem ortogonais (${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$), então os resultados não são correlacionados, e ${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0}$. Bell prova por exemplo que estes casos especiais podem ser explicados em termos de variáveis ocultas, então prossegue para mostrar que a gama completa de possibilidades envolvendo ângulos intermediários não pode.

Bell postulou que um modelo de variáveis ocultas locais para essas correlações as explicaria em termos de uma integral sobre os valores possíveis de algum parâmetro oculto ${\displaystyle \lambda }$:$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda ),}$$ onde ${\displaystyle \rho (\lambda )}$ é uma função de densidade de probabilidade. As duas funções ${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )}$ e ${\displaystyle B({\vec {b}},\lambda )}$ fornecem as respostas dos dois detectores dados os vetores de orientação e a variável oculta:$${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1.}$$ Crucialmente, o resultado do detector ${\displaystyle A}$ não depende de ${\displaystyle {\vec {b}}}$, e da mesma forma o resultado de ${\displaystyle B}$ não depende de ${\displaystyle {\vec {a}}}$, porque os dois detectores estão fisicamente separados. Agora supomos que o experimentador tem uma escolha de configurações para o segundo detector: ele pode ser configurado para ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ou para ${\displaystyle {\vec {c}}}$. A partir da suposição de que ${\displaystyle A({\vec {a}},\lambda )=-B({\vec {a}},\lambda )}$, isto é, anti-correlações perfeitas são observadas para a mesma configuração, Bell prova que$${\displaystyle |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}}).}$$ No entanto, é fácil encontrar situações em que a mecânica quântica viola a desigualdade de Bell enquanto exibe anti-correlações perfeitas.^{[14]:425–426} Por exemplo, sejam os vetores ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ortogonais, e seja ${\displaystyle {\vec {c}}}$ no seu plano a um ângulo de 45° de ambos. Então$${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0,}$$ enquanto $${\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}},}$$ mas $${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$ Portanto, não há modelo de variáveis ocultas locais que possa reproduzir as previsões da mecânica quântica para todas as escolhas de ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, e ${\displaystyle {\vec {c}}.}$ Os resultados experimentais contradizem as curvas clássicas e coincidem com a curva prevista pela mecânica quântica, desde que as deficiências experimentais sejam levadas em conta.^[6]

O teorema de Bell de 1964 requer a possibilidade de anti-correlações perfeitas: a capacidade de fazer uma previsão completamente certa sobre o resultado do segundo detector, sabendo o resultado do primeiro.^[6] O teorema baseia-se no "critério de realidade EPR", um conceito introduzido no artigo de 1935 por Einstein, Podolsky e Rosen. Esse artigo postula: "Se, sem de forma alguma perturbar um sistema, pudermos prever com certeza (ou seja, com probabilidade igual à unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade correspondente a essa quantidade."^[15] Bell observou que isso se aplica quando os dois detectores estão orientados na mesma direção (${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}}$), e assim o critério EPR implicaria que algum elemento de realidade deve predeterminar o resultado da medição. Como a descrição quântica de uma partícula não inclui tal elemento, a descrição quântica teria que ser incompleta. Em outras palavras, o artigo de Bell de 1964 mostra que, assumindo a localidade, o critério EPR implica variáveis ocultas e então ele demonstra que variáveis ocultas locais são incompatíveis com a mecânica quântica.^[16][17] Como os experimentos não podem atingir correlações ou anti-correlações perfeitas na prática, são testadas desigualdades do tipo Bell baseadas em derivações que relaxam essa suposição.^[6]

Daniel Greenberger, Michael A. Horne e Anton Zeilinger apresentaram um experimento mental de quatro partículas em 1990, que David Mermin então simplificou para usar apenas três partículas.^[18][19] Neste experimento mental, Victor gera um conjunto de três partículas de spin-1/2 descritas pelo estado quântico$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,}$$ onde, como acima, ${\displaystyle |0\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ são os autovetores da matriz de Pauli ${\displaystyle \sigma _{z}}$. Victor então envia uma partícula para Alice, Bob e Charlie, que esperam em locais amplamente separados. Alice mede ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ou ${\displaystyle \sigma _{y}}$ em sua partícula, assim como Bob e Charlie. O resultado de cada medição é ${\displaystyle +1}$ ou ${\displaystyle -1}$. Aplicando a regra de Born ao estado de três qubits ${\displaystyle |\psi \rangle }$, Victor prevê que sempre que as três medições incluírem um ${\displaystyle \sigma _{x}}$ e dois ${\displaystyle \sigma _{y}}$, o produto dos resultados será sempre ${\displaystyle +1}$. Isso ocorre porque ${\displaystyle |\psi \rangle }$ é um autovetor de ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}}$ com autovalor ${\displaystyle +1}$, e o mesmo vale para ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}}$ e ${\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}}$. Portanto, conhecendo o resultado de Alice para uma medição de ${\displaystyle \sigma _{x}}$ e o resultado de Bob para uma medição de ${\displaystyle \sigma _{y}}$, Victor pode prever com probabilidade 1 qual resultado Charlie retornará para uma medição de ${\displaystyle \sigma _{y}}$. De acordo com o critério de realidade EPR, haveria um "elemento de realidade" correspondente ao resultado de uma medição de ${\displaystyle \sigma _{y}}$ sobre o qubit de Charlie. De fato, essa mesma lógica se aplica a ambas as medições e a todos os três qubits. Segundo o critério de realidade EPR, então, cada partícula contém um "conjunto de instruções" que determina o resultado de uma medição de ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ou ${\displaystyle \sigma _{y}}$ sobre ela. O conjunto de todas as três partículas seria então descrito pelo conjunto de instruções$${\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,}$$ com cada entrada sendo ${\displaystyle -1}$ ou ${\displaystyle +1}$, e cada medição de ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ou ${\displaystyle \sigma _{y}}$ simplesmente retornando o valor apropriado.

Se Alice, Bob e Charlie todos realizarem a medição de ${\displaystyle \sigma _{x}}$, então o produto de seus resultados seria ${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}}$. Este valor pode ser deduzido de$${\displaystyle (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,,}$$ porque o quadrado de ${\displaystyle -1}$ ou ${\displaystyle +1}$ é ${\displaystyle 1}$. Cada fator entre parênteses é igual a ${\displaystyle +1}$, então$${\displaystyle a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,,}$$ e o produto dos resultados de Alice, Bob e Charlie será ${\displaystyle +1}$ com probabilidade unitária. Mas isso é inconsistente com a física quântica: Victor pode prever usando o estado ${\displaystyle |\psi \rangle }$ que a medição ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}}$ resultará em ${\displaystyle -1}$ com probabilidade unitária.

Este experimento mental também pode ser reformulado como uma desigualdade de Bell tradicional ou, equivalentemente, como um jogo não local no mesmo espírito do jogo CHSH.^[20] Nele, Alice, Bob e Charlie recebem bits ${\displaystyle x,y,z}$ de Victor, com a promessa de terem sempre um número par de uns, ou seja, ${\displaystyle x\oplus y\oplus z=0}$, e enviam de volta a ele os bits ${\displaystyle a,b,c}$. Eles vencem o jogo se ${\displaystyle a,b,c}$ tiverem um número ímpar de uns para todas as entradas, exceto ${\displaystyle x=y=z=0}$, quando precisam ter um número par de uns. Ou seja, eles vencem o jogo se e somente se ${\displaystyle a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z}$. Com variáveis ocultas locais, a maior probabilidade de vitória que podem ter é 3/4, enquanto usando a estratégia quântica acima, vencem com certeza. Este é um exemplo de pseudotelepatia quântica.

Na teoria quântica, bases ortonormais para um Espaço de Hilbert representam medições que podem ser realizadas em um sistema que possui esse espaço de Hilbert. Cada vetor em uma base representa um resultado possível dessa medição.^{[note 2]} Suponha que uma variável oculta ${\displaystyle \lambda }$ exista, de modo que conhecer o valor de ${\displaystyle \lambda }$ implicaria certeza sobre o resultado de qualquer medição. Dado um valor de ${\displaystyle \lambda }$, cada resultado de medição – isto é, cada vetor no espaço de Hilbert – é ou impossível ou garantido. Uma configuração de Kochen-Specker é um conjunto finito de vetores feito de múltiplas bases interligadas, com a propriedade de que um vetor nela sempre será impossível quando considerado pertencente a uma base e garantido quando tomado como pertencente a outra. Em outras palavras, uma configuração de Kochen-Specker é um "conjunto não colorível" que demonstra a inconsistência de assumir que uma variável oculta ${\displaystyle \lambda }$ pode estar controlando os resultados das medições.^{[25]:196–201}

O tipo de argumento Kochen-Specker, usando configurações de bases interligadas, pode ser combinado com a ideia de medir pares emaranhados que fundamenta as desigualdades do tipo Bell. Isso foi observado a partir da década de 1970 por Kochen,^[26] Heywood e Redhead,^[27] Stairs,^[28] e Brown e Svetlichny.^[29] Como o EPR apontou, obter um resultado de medição em metade de um par emaranhado implica certeza sobre o resultado de uma medição correspondente na outra metade. O "critério de realidade EPR" postula que, como a segunda metade do par não foi perturbada, essa certeza deve ser devida a uma propriedade física pertencente a ela.^[30] Em outras palavras, por este critério, uma variável oculta ${\displaystyle \lambda }$ deve existir dentro da segunda metade do par, ainda não medida. Nenhuma contradição surge se apenas uma medição na primeira metade for considerada. No entanto, se o observador tiver uma escolha de múltiplas medições possíveis, e os vetores que definem essas medições formarem uma configuração de Kochen-Specker, então algum resultado na segunda metade será simultaneamente impossível e garantido.

Este tipo de argumento ganhou atenção quando uma instância dele foi avançada por John Conway e Simon Kochen sob o nome de teorema do livre arbítrio.^[31][32][33] O teorema de Conway-Kochen usa um par de qutrits emaranhados e uma configuração de Kochen-Specker descoberta por Asher Peres.^[34]

Como Bell apontou, algumas previsões da mecânica quântica podem ser replicadas em modelos locais de variáveis ocultas, incluindo casos especiais de correlações produzidas a partir do emaranhamento. Este tópico tem sido estudado sistematicamente nos anos seguintes ao teorema de Bell. Em 1989, Reinhard Werner introduziu o que agora são chamados de estados de Werner, estados quânticos conjuntos para um par de sistemas que produzem correlações do tipo EPR, mas também admitem um modelo de variáveis ocultas.^[35] Os estados de Werner são estados quânticos bipartidos que são invariantes sob unitários de forma de produto tensorial simétrico: $${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).}$$ Em 2004, Robert Spekkens introduziu um modelo de brinquedo que começa com a premissa de graus de liberdade locais discretizados e depois impõe um "princípio de equilíbrio de conhecimento" que restringe o quanto um observador pode saber sobre esses graus de liberdade, tornando-os assim variáveis ocultas. Os estados permitidos de conhecimento ("estados epistêmicos") sobre as variáveis subjacentes ("estados ônticos") mimetizam algumas características dos estados quânticos. Correlações no modelo de brinquedo podem emular alguns aspectos do emaranhamento, como a monogamia, mas por construção, o modelo de brinquedo nunca pode violar uma desigualdade de Bell.^[36][37]

A questão de se a mecânica quântica pode ser "completada" por variáveis ocultas remonta aos primeiros anos da teoria quântica. Em seu livro didático de 1932 sobre mecânica quântica, o polímata de origem húngara John von Neumann apresentou o que alegava ser uma prova de que não poderia haver "parâmetros ocultos". A validade e a definitividade da prova de von Neumann foram questionadas por Hans Reichenbach, em mais detalhes por Grete Hermann, e possivelmente em conversa, embora não por escrito, por Albert Einstein.^{[note 3]} (Simon Kochen e Ernst Specker rejeitaram a suposição fundamental de von Neumann já em 1961, mas não publicaram uma crítica a ela até 1967.^[43])

Einstein argumentou persistentemente que a mecânica quântica não poderia ser uma teoria completa. Seu argumento preferido baseava-se num princípio de localidade:

Considere um sistema mecânico constituído por dois sistemas parciais A e B que interagem entre si apenas durante um tempo limitado. Seja dada a função ψ antes da sua interação. Então a equação de Schrödinger fornecerá a função ψ após a interação ter ocorrido. Vamos agora determinar a condição física do sistema parcial A tão completamente quanto possível por meio de medições. Então a mecânica quântica permite-nos determinar a função ψ do sistema parcial B a partir das medições feitas e da função ψ do sistema total. Esta determinação, contudo, dá um resultado que depende de qual das magnitudes determinantes que especificam a condição de A foi medida (por exemplo, coordenadas ou momentos). Uma vez que só pode haver uma condição física de B após a interação, e que razoavelmente não pode ser considerada dependente da medição particular que realizamos no sistema A separado de B, pode-se concluir que a função ψ não está ambiguamente coordenada com a condição física. Esta coordenação de várias funções ψ com a mesma condição física do sistema B mostra novamente que a função ψ não pode ser interpretada como uma descrição (completa) de uma condição física de um sistema unitário.^[44]

O experimento mental EPR é semelhante, considerando também dois sistemas separados A e B descritos por uma função de onda conjunta. Contudo, o artigo EPR acrescenta a ideia mais tarde conhecida como critério de realidade EPR, segundo a qual a capacidade de prever com probabilidade 1 o resultado de uma medição em B implica a existência de um "elemento de realidade" dentro de B.^[45]

Em 1951, David Bohm propôs uma variante do experimento mental EPR na qual as medições têm gamas discretas de resultados possíveis, ao contrário das medições de posição e momento consideradas pelo EPR.^[46] No ano anterior, Chien-Shiung Wu e Irving Shaknov tinham medido com sucesso polarizações de fótons produzidos em pares emaranhados, tornando assim a versão de Bohm do experimento mental EPR praticamente viável.^[47]

No final da década de 1940, o matemático George Mackey interessou-se pelos fundamentos da física quântica e, em 1957, elaborou uma lista de postulados que considerou serem uma definição precisa da mecânica quântica.^[48] Mackey conjeturou que um dos postulados era redundante e, pouco depois, Andrew M. Gleason provou que era de facto dedutível dos outros postulados.^[49][50] O Teorema de Gleason forneceu um argumento de que uma classe ampla de teorias de variáveis ocultas é incompatível com a mecânica quântica.^{[note 4]} Mais especificamente, o teorema de Gleason exclui modelos de variáveis ocultas que são "não contextuais". Qualquer modelo de variáveis ocultas para a mecânica quântica deve, para evitar as implicações do teorema de Gleason, envolver variáveis ocultas que não sejam propriedades pertencentes apenas ao sistema medido, mas que dependam também do contexto externo em que a medição é feita. Este tipo de dependência é frequentemente visto como forçado ou indesejável; em alguns contextos, é inconsistente com a relatividade restrita.^[13][52] O teorema de Kochen-Specker refina esta afirmação ao construir um subconjunto finito específico de raios sobre o qual nenhuma medida de probabilidade deste tipo pode ser definida.^[13][53]

Tsung-Dao Lee esteve perto de derivar o teorema de Bell em 1960. Ele considerou eventos em que dois kaons eram produzidos viajando em direções opostas e chegou à conclusão de que variáveis ocultas não poderiam explicar as correlações que poderiam ser obtidas em tais situações. No entanto, surgiram complicações devido ao facto de os kaons decaírem, e ele não foi ao ponto de deduzir uma desigualdade do tipo Bell.^[39]:308

Bell escolheu publicar o seu teorema numa revista comparativamente obscura porque esta não exigia taxas de página, pagando de facto aos autores que lá publicavam na altura. Como a revista não fornecia separatas gratuitas dos artigos para os autores distribuírem, Bell teve de gastar o dinheiro que recebeu para comprar cópias que pudesse enviar a outros físicos.^[54] Embora os artigos impressos na própria revista listassem o nome da publicação simplesmente como Physics, as capas ostentavam a versão trilingue Physics Physique Физика para refletir que publicaria artigos em inglês, francês e russo.^{[42]:92–100, 289}

Antes de provar o seu resultado de 1964, Bell também provou um resultado equivalente ao teorema de Kochen-Specker (daí que este último seja por vezes também conhecido como teorema de Bell-Kochen-Specker ou Bell-KS). Contudo, a publicação deste teorema foi inadvertidamente atrasada até 1966.^[13][55] Nesse artigo, Bell argumentou que, como uma explicação dos fenómenos quânticos em termos de variáveis ocultas exigiria a não localidade, o paradoxo EPR "é resolvido da forma que Einstein menos teria gostado."^[55]

As interpretações do tipo Copenhague geralmente tomam a violação das desigualdades de Bell como fundamento para rejeitar a suposição frequentemente chamada de definitividade contrafactual ou "realismo", o que não é necessariamente o mesmo que abandonar o realismo num sentido filosófico mais amplo.^[72][73] Por exemplo, Roland Omnès defende a rejeição de variáveis ocultas e conclui que "a mecânica quântica é provavelmente tão realista quanto qualquer teoria do seu âmbito e maturidade alguma vez será".^[74]:531 Da mesma forma, Rudolf Peierls considerou que a mensagem do teorema de Bell era que, sendo a premissa de localidade fisicamente razoável, "as variáveis ocultas não podem ser introduzidas sem abandonar alguns dos resultados da mecânica quântica".^[75][76]

Este é também o caminho seguido por interpretações que descendem da tradição de Copenhague, como as Histórias consistentes (frequentemente anunciadas como "Copenhague bem feita"),^[77]:2839 bem como o QBismo.^[78]

A interpretação de muitos mundos, também conhecida como interpretação de Everett, é dinamicamente local, o que significa que não exige ação à distância,^[79]:17 e determinística, porque consiste na parte unitária da mecânica quântica sem colapso. Pode gerar correlações que violam uma desigualdade de Bell porque viola uma suposição implícita de Bell de que as medições têm um único resultado. Na verdade, o teorema de Bell pode ser provado no quadro de Muitos Mundos a partir da suposição de que uma medição tem um único resultado. Portanto, uma violação de uma desigualdade de Bell pode ser interpretada como uma demonstração de que as medições têm múltiplos resultados.^[80]

A explicação que fornece para as correlações de Bell é que, quando Alice e Bob fazem as suas medições, dividem-se em ramos locais. Do ponto de vista de cada cópia de Alice, existem múltiplas cópias de Bob a experienciar resultados diferentes, pelo que Bob não pode ter um resultado definido, e o mesmo é verdade do ponto de vista de cada cópia de Bob. Eles obterão um resultado mutuamente bem definido apenas quando os seus futuros cones de luz se sobrepuserem. Neste ponto, podemos dizer que a correlação de Bell começa a existir, mas foi produzida por um mecanismo puramente local. Portanto, a violação de uma desigualdade de Bell não pode ser interpretada como uma prova de não localidade.^[79]:28

A maioria dos defensores da ideia de variáveis ocultas acredita que as experiências descartaram as variáveis ocultas locais.^{[note 5]} Estão prontos a desistir da localidade, explicando a violação da desigualdade de Bell por meio de uma teoria de variáveis ocultas não local, na qual as partículas trocam informação sobre os seus estados. Esta é a base da interpretação de Bohm da mecânica quântica, que exige que todas as partículas no universo sejam capazes de trocar informação instantaneamente com todas as outras. Um desafio para as teorias de variáveis ocultas não locais é explicar por que razão esta comunicação instantânea pode existir ao nível das variáveis ocultas, mas não pode ser utilizada para enviar sinais.^[83] Uma experiência de 2007 descartou uma grande classe de teorias de variáveis ocultas não locais não bohmianas, embora não a própria mecânica bohmiana.^[84]

A interpretação transacional, que postula ondas que viajam tanto para trás como para a frente no tempo, é igualmente não local.^[85]

Uma suposição necessária para derivar o teorema de Bell é que as variáveis ocultas não estão correlacionadas com as configurações de medição. Esta suposição tem sido justificada com base no facto de o experimentador ter "livre-arbítrio" para escolher as configurações, e que isso é necessário para fazer ciência em primeiro lugar. Uma teoria (hipotética) onde a escolha da medição está necessariamente correlacionada com o sistema que está a ser medido é conhecida como superdeterminista.^[62]

Alguns defensores de modelos determinísticos não desistiram das variáveis ocultas locais. Por exemplo, Gerard 't Hooft argumentou que o superdeterminismo não pode ser descartado.^[86]