Campo vectorial laminar complejo

En cálculo vectorial, un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial que es ortogonal a una familia de superficies. En el contexto más amplio de la geometría diferencial, los campos vectoriales laminares complejos se denominan más a menudo campos vectoriales ortogonales a hipersuperficies. Se pueden caracterizar de diferentes maneras, muchas de las cuales implican el rotacional. Un «campo vectorial laminar» es un caso especial dado por campos vectoriales con rotacional cero.

El adjetivo «laminar» deriva del sustantivo «lámina», que significa capa delgada. Las láminas a las que se refiere el «campo vectorial laminar» son las superficies de potencial constante o, en el caso complejo, las superficies ortogonales al campo vectorial.^[1]

En cálculo vectorial, un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial en tres dimensiones que es ortogonal a su propio rotacional.^[2] Es decir,

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

El término campo vectorial laminar se utiliza a veces como sinónimo del caso especial de un campo vectorial irrotacional, lo que significa que^[3]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

Los campos vectoriales laminares complejos son precisamente aquellos que son normales a una familia de superficies. Un campo vectorial irrotacional es localmente el gradiente de una función y, por lo tanto, es ortogonal a la familia de superficies de nivel (las superficies equipotenciales).^[4] Cualquier campo vectorial puede descomponerse como la suma de un campo vectorial irrotacional y un campo laminar complejo.^[5]

En términos más generales, se dice que un campo vectorial F en una variedad pseudo-riemanniana es ortogonal a la hipersuperficie si a través de un punto arbitrario hay una hiperficie incrustada suavemente que, en todos sus puntos, es ortogonal al campo vectorial. Según el teorema de Frobenius, esto equivale a exigir que el corchete de Lie de cualquier campo vectorial suave ortogonal a F siga siendo ortogonal a F. ^[6]

La condición de ortogonalidad hiperespacial puede reformularse en términos de la forma diferencial 1 ω, que es dual a F. La condición del corchete de Lie dada anteriormente se puede reformular para exigir que la derivada exterior dω, cuando se evalúa en dos vectores tangentes ortogonales a F, sea cero. ^[6] Esto también se puede expresar como el requisito de que exista una forma 1 suave cuyo producto de cuña con ω sea igual a dω.^[7]

Alternativamente, esto puede escribirse como la condición de que la forma diferencial de grado 3 ω ∧ dω sea cero. Esto también se puede expresar, en términos de la conexión de Levi-Civita definida por la métrica, como la exigencia de que la parte totalmente antisimétrica del campo tensorial de 3 dimensiones ω_i∇_j ω_k' sea cero.^[8] Utilizando una formulación diferente del teorema de Frobenius, también es equivalente exigir que ω sea expresable localmente como λ du para algunas funciones λ y u. ^[9]

En el caso especial de los campos vectoriales en el espacio euclídeo tridimensional, la condición hiperespacial ortogonal es equivalente a la condición laminar compleja, véase que ω ∧ dω se reescribe en términos del operador estrella de Hodge como ∗⟨ω, ∗dω⟩, siendo ∗dω la forma 1 dual al campo vectorial de rotacional.^[10]

Los campos vectoriales ortogonales a la hiperficie son especialmente importantes en la relatividad general, donde (entre otras razones) la existencia de un campo vectorial de Killing que sea ortogonal a la hiperficie es uno de los requisitos de un espacio-tiempo estático. ^[11] En este contexto, la ortogonalidad de la hiperficie se denomina a veces «irrotacionalidad», aunque esto entra en conflicto con el uso estándar en tres dimensiones.^[12] Otro nombre es «ausencia de rotación».^[13]

Una noción aún más general, en el lenguaje de los sistemas pfaffianos, es la de una una forma 1 completamente integrable ω, que equivale a la condición ω ∧ dω = 0 tal y como se ha indicado anteriormente.^[14] En este contexto, no hay métrica y, por lo tanto, no existe la noción de «ortogonalidad».

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