Campo vectorial de Beltrami

En cálculo vectorial, un campo vectorial de Beltrami, llamado así en honor a Eugenio Beltrami, es un campo vectorial en tres dimensiones que es paralelo a su propio rotacional. Es decir, «F» es un campo vectorial de Beltrami siempre que $${\displaystyle \mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ son vectores paralelos, es decir, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F} }$.

Si ${\displaystyle \mathbf {F} }$ es solenoidal, es decir, si ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$, como en el caso de un fluido incompresible o un campo magnético, la identidad ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\ nabla^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$ se convierte en ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} }$ y esto conduce a $${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )}$$ y si además suponemos que ${\displaystyle \lambda }$ es una constante, llegamos a la forma simple $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .}$$

Los campos vectoriales de Beltrami con rotacional distinto de cero corresponden a formularios de contacto euclídicos en tres dimensiones.

El campo vectorial $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j} }$$ es un múltiplo de la estructura de contacto estándar −z i + j, y proporciona un ejemplo de campo vectorial de Beltrami.

Los campos de Beltrami con un factor de proporcionalidad constante son una categoría distinta de campos vectoriales que actúan como funciones propias del operador rotacional. En esencia, son funciones que mapean puntos en un espacio tridimensional, ya sea en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (espacio euclídeo) o en un toro plano ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$, a otros puntos en el mismo espacio. Matemáticamente, esto se puede representar como:

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ (para el espacio euclídeo) o ${\displaystyle u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}}$ (para el toro plano).

Estos campos vectoriales son únicos debido a la relación especial entre el rotacional del campo vectorial ${\displaystyle u}$ y el propio campo. Esta relación se puede expresar mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle \nabla \times u=\lambda u}$

En esta ecuación, ${\displaystyle \lambda }$ es una constante distinta de cero, lo que indica que el rotacional del campo vectorial ${\displaystyle u}$ es proporcional al propio campo.

Los campos de Beltrami son relevantes en la dinámica de fluidos, ya que ofrecen una familia clásica de soluciones estacionarias a la ecuación de Euler en tres dimensiones. ^[1] Las ecuaciones de Euler describen el movimiento de un fluido ideal e incompresible y pueden escribirse como un sistema de dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$ Para flujos estacionarios, en los que el campo de velocidad ${\displaystyle u}$ no cambia con el tiempo, es decir, ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$, podemos introducir la función Bernoulli, ${\displaystyle B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}}$, y la vorticidad, ${\displaystyle \omega$ :=\nabla \times u} . Estas nuevas variables simplifican las ecuaciones de Euler en el siguiente sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$ La simplificación es posible gracias a una identidad vectorial, que relaciona el término convectivo ${\displaystyle (u\cdot \nabla )u}$ con el gradiente de la energía cinética y el producto cruzado del campo de velocidad y su rotacional:

${\displaystyle (u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)}$

Cuando la función de Bernoulli ${\displaystyle B}$ es constante, los campos de Beltrami se convierten en soluciones válidas para las ecuaciones simplificadas de Euler. Obsérvese que no es necesario que el factor de proporcionalidad sea constante para que la demostración sea válida.

• Flujo de Beltrami
• Campo vectorial laminar complejo
• Campo vectorial conservativo

• Aris, Rutherford (1989), Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Dover, ISBN 0-486-66110-5, (requiere registro) .
• Lakhtakia, Akhlesh (1994), Beltrami fields in chiral media, World Scientific, ISBN 981-02-1403-0 .
• Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000), «Contact topology and hydrodynamics. I. Beltrami fields and the Seifert conjecture», Nonlinearity 13 (2): 441–448, Bibcode:2000Nonli..13..441E, doi:10.1088/0951-7715/13/2/306 ..