Vector de Lamb

En dinámica de fluidos, el vector de Lamb es el producto cruzado del vector de vorticidad y el vector de velocidad del campo de flujo, llamado así en honor al físico Horace Lamb.^[1][2] El vector de Lamb se define como

${\displaystyle \mathbf {l} =\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {u} }$ es el campo de velocidad y ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ es el campo de vorticidad del flujo. Aparece en las ecuaciones de Navier-Stokes a través del término derivada material, concretamente a través del término de aceleración convectiva,

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {l} }$

En los flujos irrotacionales, el vector de Lamb es cero, al igual que en los flujos de Beltrami. El concepto de vector de Lamb se utiliza ampliamente en los flujos turbulentos. El vector de Lamb es análogo al campo eléctrico, cuando se compara la ecuación de Navier-Stokes con las ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Euler escritas en términos del vector de Lamb se denominan ecuación de Gromeka-Lamb, en honor a Ippolit S. Gromeka y Horace Lamb.^[3] Esto viene dado por

${\displaystyle \nabla H=\mathbf {l} .}$

La divergencia del vector lamb se puede derivar de las identidades vectoriales,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} =\mathbf {u} \cdot \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}-{\boldsymbol {\omega }}\cdot H.}$

Al mismo tiempo, la divergencia también se puede obtener de la ecuación de Navier-Stokes tomando su divergencia. En particular, para un flujo incompresible, donde ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$, con fuerzas corporales dadas por ${\displaystyle -\nabla U}$, la divergencia del vector de Lamb se reduce a

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} =-\nabla ^{2}H,}$

donde

${\displaystyle H={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+U.}$

En las regiones donde ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} \geq 0}$, existe una tendencia a que ${\displaystyle \Phi }$ se acumule allí y viceversa.