Flujo de Beltrami

En dinámica de fluidos, los «flujos de Beltrami» son flujos en los que el vector de vorticidad ${\boldsymbol {\omega }}$ y el vector de velocidad $\mathbf {v}$ son paralelos entre sí. En otras palabras, el flujo de Beltrami es un flujo en el que el vector de Lamb es cero. Recibe su nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami debido a su derivación del campo vectorial de Beltrami, mientras que los desarrollos iniciales en dinámica de fluidos fueron realizados por el científico ruso Ippolit S. Gromeka en 1881.^[1]^[2]

Descripción

Dado que el vector de vorticidad ${\boldsymbol {\omega }}$ y el vector de velocidad $\mathbf {v}$ son colineales entre sí, podemos escribir

{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,

donde $\alpha (\mathbf {x} ,t)$ es una función escalar. Una consecuencia inmediata del flujo de Beltrami es que nunca puede ser un flujo plano o axisimétrico, ya que en esos flujos la vorticidad es siempre perpendicular al campo de velocidad. La otra consecuencia importante se aprecia al observar la ecuación de la vorticidad incompresible

{\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,

donde $\mathbf {f}$ son fuerzas externas del cuerpo, como el campo gravitatorio, el campo eléctrico, etc., y $\nu$ es la viscosidad cinemática. Dado que ${\boldsymbol {\omega }}$ y $\mathbf {v}$ son paralelos, los términos no lineales de la ecuación anterior son iguales; $(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v}$ . Por lo tanto, los flujos de Beltrami satisfacen las ecuaciones lineales

{\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.

Cuando $\mathbf {f} =0$ , los componentes de la vorticidad satisfacen una simple ecuación de calor.

Flujo de Trkalian

Viktor Trkal consideró los flujos de Beltrami sin fuerzas externas en 1919^[3] para la función escalar $\alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constante}}$ , es decir,

{\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .

Introducimos la siguiente separación de variables

\mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),

entonces la ecuación que satisface $\mathbf {g} (\mathbf {x} )$ se convierte en

\nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .

Las funciones de Chandrasekhar-Kendall satisfacen esta ecuación.

La solución de Berker

Ratip Berker obtuvo la solución en coordenadas cartesianas para $\mathbf {g} (\mathbf {x} )$ en 1963,^[4]^[5]

\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}-\cos {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\sin {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\\\sin {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\cos {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\\{\sqrt {2}}\cos {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\cos {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.

Flujo de Beltrami generalizado

El flujo de Beltrami generalizado satisface la condición^[6]

\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0

que es menos restrictiva que la condición de Beltrami $\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0$ . A diferencia de los flujos normales de Beltrami, el flujo generalizado de Beltrami puede estudiarse para flujos planos y axisimétricos.

Flujos planos estacionarios

Para el flujo de Beltrami generalizado estacionario, tenemos $\nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ y, dado que también es plano, tenemos $\mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )$ . Introducimos la función de corriente

u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .

La integración de $\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ da $\zeta =-f(\psi )$ . Por lo tanto, la solución completa es posible si satisface las tres ecuaciones siguientes

\nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).

Se considera un caso especial cuando el campo de flujo tiene una vorticidad uniforme $f(\psi )=C={\text{constante}}$ . Wang (1991)^[7] dio la solución generalizada como

\zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by

suponiendo una función lineal para $A(x,y)$ . Sustituyendo esto en la ecuación de vorticidad e introduciendo la separación de variables $\psi (x,y)=X(x)Y(y)$ con la constante de separación $\lambda ^{2}$ , se obtiene

{\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.

La solución obtenida para diferentes elecciones de $a,\ b,\ \lambda$ puede interpretarse de diferentes maneras, por ejemplo, $a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0$ representa un flujo aguas abajo de una rejilla uniforme, $a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0$ representa un flujo creado por una placa extensible, $a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0$ representa un flujo hacia una esquina, $a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0$ representa un perfil de succión asintótico etc.

Flujos planos inestables

Aquí,

\nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)

.

Vórtices en desintegración de Taylor

G. I. Taylor dio la solución para un caso especial en el que $\zeta =K\psi$ , donde $K$ es una constante en 1923.^[8] Demostró que la separación $\psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)$ satisface la ecuación y también

\nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .

Taylor también consideró un ejemplo, un sistema en descomposición de remolinos que giran alternativamente en direcciones opuestas y dispuestos en una matriz rectangular

\Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}

que satisface la ecuación anterior con $\lambda =2\pi ^{2}/d^{2}$ , donde $d$ es la longitud del cuadrado formado por un remolino. Por lo tanto, este sistema de remolinos decae como

\psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.

O. Walsh generalizó la solución de Taylor sobre remolinos en 1992.^[9] La solución de Walsh tiene la forma $\mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)$ , donde $\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u}$ y $\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Flujos axisimétricos estacionarios

Aquí tenemos $\mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)$ . La integración de $\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ da $\zeta =rf(\psi )$ y las tres ecuaciones son

{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )

La primera ecuación es la ecuación de Hicks. Marris y Aswani (1977)^[10] demostraron que la única solución posible es $f(\psi )=C={\text{constante}}$ y las ecuaciones restantes se reducen a

{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0

Un conjunto simple de soluciones a la ecuación anterior es

\psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)

$c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0$ representa un flujo debido a dos corrientes rotacionales opuestas en una superficie parabólica, $c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0$ representa un flujo rotacional en una pared plana, $c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0$ representa un flujo de vórtice elipsoidal (caso especial: vórtice esférico de Hill), $c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0$ representa un tipo de vórtice toroidal, etc.

La solución homogénea para $C=0$ , tal y como muestra Berker^[4]

\psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)

donde $J_{1}(kr),Y_{1}(kr)$ son la función de Bessel de primera clase y la función de Bessel de segunda clase respectivamente. Un caso especial de la solución anterior es el flujo de Poiseuille para geometría cilíndrica con velocidades de transpiración en las paredes. Chia-Shun Yih encontró una solución en 1958 para el flujo de Poiseuille en un sumidero cuando $C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0$ .^[11]

Flujo de Beltrami en mecánica de fluidos

Los campos de Beltrami son una solución clásica estable a la ecuación de Euler. Los campos de Beltrami desempeñan un papel importante en la mecánica de fluidos (ideal) en equilibrio, ya que solo se espera complejidad para estos campos.

Véase también

Flujo de Gromeka-Arnold-Beltrami-Childress (GABC)

Referencias

↑ Gromeka, I. «Algunos casos de movimiento de fluidos incompresibles». Notas científicas de la Universidad de Kazán (1881): 76-148.
↑ Truesdell, Clifford. La cinemática de la vorticidad. Vol. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.
↑ Trkal, V. «A remark on the hydrodynamics of viscous fluids» (Una observación sobre la hidrodinámica de los fluidos viscosos). Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302-311.
1 2 Berker, R. «Integration des equations du movement d'un fluide visqueux incompressible. Handbuch der Physik.» (1963).
↑ 高橋光一, & タカハシコウイチ. (2025). ナビエ-ストークス方程式の軸対称渦解 2. エネルギーの有限性について. 東北学院大学教養学部論集, 195, 31-47.
↑ Drazin, Philip G., y Norman Riley. Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.
↑ Wang, C. Y. 1991 Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
↑ Taylor, G. I. «LXXV. Sobre la desintegración de vórtices en un fluido viscoso». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 46.274 (1923): 671–674.
↑ Walsh, O. (1992). Soluciones de remolinos de las ecuaciones de Navier-Stokes. En Las ecuaciones de Navier-Stokes II: teoría y métodos numéricos (pp. 306-309). Springer, Berlín, Heidelberg.
↑ Marris, A. W. y M. G. Aswani. «Sobre la imposibilidad general de movimientos controlables axi-simétricos de Navier-Stokes». Archivo de Mecánica Racional y Análisis 63.2 (1977): 107-153.
↑ Yih, C. S. (1959). Dos soluciones para el flujo rotacional no viscoso con remolinos en las esquinas. Revista de Mecánica de Fluidos, 5(1), 36-40.

Datos: Q30693357

[1] Gromeka, I. «Algunos casos de movimiento de fluidos incompresibles». Notas científicas de la Universidad de Kazán (1881): 76-148.

[2] Truesdell, Clifford. La cinemática de la vorticidad. Vol. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.

[3] Trkal, V. «A remark on the hydrodynamics of viscous fluids» (Una observación sobre la hidrodinámica de los fluidos viscosos). Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302-311.

[dup-0-7-4] 1 2 Berker, R. «Integration des equations du movement d'un fluide visqueux incompressible. Handbuch der Physik.» (1963).

[5] 高橋光一, & タカハシコウイチ. (2025). ナビエ-ストークス方程式の軸対称渦解 2. エネルギーの有限性について. 東北学院大学教養学部論集, 195, 31-47.

[6] Drazin, Philip G., y Norman Riley. Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.

[7] Wang, C. Y. 1991 Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.

[8] Taylor, G. I. «LXXV. Sobre la desintegración de vórtices en un fluido viscoso». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 46.274 (1923): 671–674.

[9] Walsh, O. (1992). Soluciones de remolinos de las ecuaciones de Navier-Stokes. En Las ecuaciones de Navier-Stokes II: teoría y métodos numéricos (pp. 306-309). Springer, Berlín, Heidelberg.

[10] Marris, A. W. y M. G. Aswani. «Sobre la imposibilidad general de movimientos controlables axi-simétricos de Navier-Stokes». Archivo de Mecánica Racional y Análisis 63.2 (1977): 107-153.

[11] Yih, C. S. (1959). Dos soluciones para el flujo rotacional no viscoso con remolinos en las esquinas. Revista de Mecánica de Fluidos, 5(1), 36-40.

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